Como funciona a meia-vida: o que resta após 1, 3 e 10 meias-vidas

Uma fórmula escrita de duas maneiras

A forma em base dois é aquela com que se deve raciocinar: restante = inicial × (1/2)^(t / t½). O expoente t / t½ é uma contagem de meias-vidas e, sendo um quociente de dois tempos, não tem unidade — por isso ambos os tempos têm de ser expressos na mesma unidade antes de os dividir. Dê-lhe 11 460 anos contra uma meia-vida de 5 730 anos e o expoente vale 2: resta um quarto. Dê-lhe um tempo em horas contra uma meia-vida em minutos e errará por um fator de sessenta no expoente, ou seja um fator de cerca de 10^18 no resultado.

A física e a farmacologia costumam escrever a mesma curva como N(t) = N0 × e^(−λt), com λ = ln 2 / t½. Não há nada de mais profundo na segunda forma: ln 2 vale 0,6931, pelo que uma meia-vida de 10 unidades dá λ = 0,06931 por unidade, e ambas as expressões devolvem o mesmo número. O que a forma exponencial revela é o tempo de vida médio, τ = 1/λ = t½ / ln 2 = 1,4427 × t½. É mais longo do que a meia-vida, o que surpreende com frequência. A razão está na cauda da distribuição: um pequeno número de entidades persiste durante muitas meias-vidas e puxa a média para cima, ao passo que a mediana — o ponto em que exatamente metade desapareceu — é por definição a própria meia-vida.

Nada chega alguma vez a zero, por isso a prática adota uma convenção

Dividir por dois é uma multiplicação, não uma subtração, e multiplicar um número positivo por meio pode repetir-se para sempre sem dar zero. A curva é assintótica: aproxima-se do eixo e nunca lhe toca. Por isso a pergunta habitual — quanto tempo até desaparecer por completo — não é uma pergunta difícil, é uma pergunta sem resposta matemática, e qualquer fonte que lhe dê um número escolheu um limiar em silêncio. A versão honesta é nomear o limiar pretendido. Os 10 % restantes chegam às 3,32 meias-vidas, 1 % às 6,64 e um décimo de ponto às 9,97. Esses números são os logaritmos de base dois de 10, 100 e 1000, e daí vem a conhecida regra das dez meias-vidas.

Há uma segunda razão, física, pela qual a curva suave deixa a certa altura de descrever a realidade: uma amostra real contém um número inteiro finito de entidades, e o decaimento é um acontecimento aleatório por entidade, não um escoamento regular. A exponencial é o valor esperado desse processo aleatório. Parta de uma mole de isótopo radioativo, cerca de 6,022 × 10^23 átomos: ao fim de dez meias-vidas restam à volta de 5,9 × 10^20 — menos de um milésimo da quantidade inicial e, ainda assim, um número absoluto enorme. Parta antes de mil átomos e ao fim de dez meias-vidas espera cerca de um, momento em que falar de frações deixa de ser útil e passa a contar acontecimentos individuais. A regra das dez meias-vidas fala de proporções, nunca de quantidades absolutas, e uma amostra suficientemente grande pode continuar mensurável muito para lá dela.

Uma meia-vida só é constante se o processo for de primeira ordem

Tudo o que precede supõe que a velocidade de desaparecimento é proporcional à quantidade presente. É isso que significa primeira ordem, e o decaimento radioativo é o caso de manual: cada núcleo decai com uma probabilidade fixa por unidade de tempo, independentemente dos vizinhos. Sob essa hipótese a meia-vida é uma propriedade da substância e nunca muda — a segunda meia-vida dura exatamente o mesmo que a primeira. A IUPAC é cuidadosa neste ponto. A sua entrada sobre a meia-vida de uma reação indica que o termo só tem sentido em casos especiais, sobretudo na cinética de primeira ordem; numa reação de segunda ordem a meia-vida depende da concentração inicial e cada meia-vida sucessiva dura o dobro da anterior. Se está a calcular uma meia-vida para um processo cuja velocidade não acompanha o seu próprio tamanho, o número obtido descreve um ponto de partida concreto e mais nada.

O mesmo cuidado se aplica quando duas vias de eliminação independentes atuam ao mesmo tempo. Um radionuclídeo dentro de um organismo vivo sai por dois mecanismos — decai e o organismo excreta-o — e as duas constantes de velocidade somam-se: 1 / t_ef = 1 / t_fís + 1 / t_biol. Como o que se soma são os inversos, a meia-vida efetiva é sempre mais curta do que qualquer uma das duas isoladamente. Tome uma meia-vida física de 8 dias e uma biológica de 24 dias: os inversos dão 0,125 + 0,041667 = 0,166667, logo t_ef = 6 dias, menos do que a mais curta do par. Somar as meias-vidas, ou fazer a média, erra por muito, e no sentido que exagera a persistência da substância.

Perguntas frequentes

Como obtenho uma meia-vida a partir de duas medições?

Reorganize a lei de decaimento: t½ = t × ln 2 / ln(N0 / N), onde N0 é a primeira leitura, N a segunda e t o tempo entre elas. Suponha que resta 30 % ao fim de 12 horas. Então ln(1 / 0,30) = 1,2040 e t½ = 12 × 0,6931 / 1,2040 = 6,91 horas. Confirme voltando para a frente: (1/2)^(12 / 6,91) = 0,300. Duas leituras são o mínimo, mas são também a estimativa menos robusta possível — o quociente N0 / N está dentro de um logaritmo, pelo que uns poucos por cento de ruído de medição deslocam o resultado de forma apreciável. Quando os dados permitirem, ajuste uma reta de ln N contra t sobre muitos pontos e tome o declive como −λ.

A meia-vida é o mesmo que o tempo de vida médio?

Não, e a média é a maior das duas. O tempo de vida médio vale τ = 1 / λ = t½ / ln 2, ou seja 1,4427 vezes a meia-vida — um isótopo com meia-vida de 10 dias tem um tempo de vida médio de 14,4 dias. A meia-vida é a mediana da distribuição dos tempos de vida individuais, o ponto em que metade das entidades desapareceu; a média é puxada para a direita pelo pequeno número que sobrevive várias meias-vidas. Confundir as duas é um erro de 44 %, e sempre no mesmo sentido, pelo que vale a pena verificar de que grandeza fala um número publicado.

Toda a quantidade que diminui tem uma meia-vida?

Só se decair exponencialmente, ou seja, se a velocidade de perda for proporcional à quantidade ainda presente. Isso cobre o decaimento radioativo, as reações químicas de primeira ordem, a descarga de um condensador através de uma resistência e os processos de eliminação não saturados. Não cobre uma quantidade que baixa um valor fixo por unidade de tempo: um depósito que esvazia a 10 litros por minuto demora 5 minutos a passar de 100 para 50 litros e apenas 2,5 minutos a passar de 50 para 25, pelo que o tempo de redução a metade encolhe sem parar e não há uma meia-vida única a citar. O teste rápido é verificar se as reduções sucessivas a metade demoram o mesmo. Se não demorarem, use a lei de velocidade subjacente em vez de lhe impor uma meia-vida.