Quanto erra «nominal menos inflação»? Exatamente um ano de inflação

Uma linha de álgebra substitui todo o debate

Parta do que o rendimento real deve significar: quanto mais pode comprar, não quantas unidades monetárias a mais detém. Se um cabaz custa 100 hoje e 103 no ano seguinte, e o seu dinheiro passa de 100 para 108, então no ano seguinte pode comprar 108 ÷ 103 = 1,048544 cabazes — um ganho de 4,8544 % em coisas. Essa divisão é a definição, não um refinamento dela. Ao reescrevê-la obtém-se (n − i) ÷ (1 + i), o que mostra exatamente de onde vem a subtração e exatamente o que lhe falta: a subtração é o numerador sozinho, com o denominador esquecido. Como o denominador vale (1 + i), esquecê-lo multiplica a resposta por (1 + i), e multiplicar por (1 + i) é exatamente não converter o dinheiro do ano passado em dinheiro de hoje.

Os mercados que não têm direito a errar não subtraem. As obrigações públicas indexadas à inflação funcionam escalando o capital por um coeficiente construído a partir do índice de preços no consumidor — uma multiplicação, aplicada diariamente, precisamente para que o cupão real do título seja um cupão real e não um cupão real menos uma convenção de arredondamento. Os institutos de estatística deflacionam as séries nominais dividindo-as por um índice de preços, pela mesma razão. Onde a resposta tem de sobreviver ao contacto com um sistema de liquidação, a operação é a divisão; a subtração só sobrevive onde ninguém tem de pagar a diferença.

Porque o produto das duas taxas é a intuição errada

A regra popular diz que o atalho serve quando as taxas são baixas e parte quando são altas, e costuma explicá-lo com o termo cruzado n × i. Esse termo cruzado está mesmo no desenvolvimento — o erro absoluto vale (n − i) × i ÷ (1 + i), ou seja, para i pequeno, aproximadamente n × i menos i ao quadrado — mas tomar o produto por motor produz uma previsão falsa que se constrói com facilidade. Mantenha n × i fixo em 0,0060 e percorra essa curva. Com n = 60 % e i = 1 % o erro são 0,5842 pontos. Com n = 20 % e i = 3 % são 0,4951. Com n = 6 % e i = 10 % são −0,3636, e com n = 2 % e i = 30 % são −6,4615. O mesmo produto, erros a cobrir sete pontos e ambos os sinais. O motor não é o produto: é a distância entre n e i, escalada por i.

A regra que se sustenta é a relativa, e sustenta-se sem exceção porque é uma identidade e não uma aproximação: o atalho está sempre alto em exatamente i da resposta verdadeira. Isso dá-lhe uma correção mental aplicável sem máquina. Calcule n − i e depois tire-lhe essa percentagem de inflação. A 8 % nominais e 3 % de inflação, 5 % menos 3 % de 5 % dá 4,85 — a resposta exata a três algarismos. A deflação inverte: com 2 % nominais e preços a cair 1 %, o rendimento real exato é 3,0303 % e o atalho diz 3,0000, pelo que agora o atalho fica curto em 1 % da resposta, porque i é negativo. A identidade sustenta-se nas duas direções e não liga ao sinal.

Quinze centésimas de ponto tornam-se 1 762,61 € em trinta anos

Uma diferença de 0,1456 pontos percentuais soa a discussão de arredondamento até ser capitalizada. Ponha 10 000 € a trabalhar a 8 % nominais durante trinta anos com uma inflação de 3 %. O capital nominal chega a 100 626,57 €. Deflacione-o corretamente — divida por 1,03 elevado a trinta, ou equivalentemente capitalize à taxa real exata — e vale 41 456,81 € em dinheiro de hoje. Capitalize em vez disso os 5 % do atalho e obtém 43 219,42 €. O atalho exagera o resultado em 1 762,61 €, ou 4,25 % do capital real. O erro relativo passar de 3,00 % num ano para 4,25 % em trinta deve-se a os dois fatores de crescimento diferirem numa razão constante, e uma razão constante capitaliza-se: 1,05 × 1,03 ÷ 1,08 vale 1,0013889, e 1,0013889 elevado a trinta vale 1,0425.

A mesma lógica de capitalização arruína um segundo atalho de aparência inofensiva: fazer a média da inflação de vários anos e aplicá-la uma vez. Tome três anos a 8 % de rendimento nominal contra uma inflação de 2, 7 e 3 %. Encadeie os rendimentos reais exatos ano a ano: o crescimento real acumulado é 12,0599 %, ou seja uma média geométrica de 3,8684 % ao ano. Aplique em vez disso a inflação média aritmética de 4 % e obtém 3,8462 %. A diferença são aqui apenas 0,0222 pontos, e vai sempre no mesmo sentido — fazer a média da inflação subavalia o rendimento real — porque o deflator é convexo na taxa. É pequena quando a inflação é estável e cresce com a variância, isto é, precisamente quando se é tentado a usar a média.

O imposto cai sobre o rendimento nominal, e isso esmaga a correção de Fisher

Quase todos os sistemas fiscais tributam o número de unidades monetárias ganhas, e não o poder de compra ganho. Isso tem uma consequência com uma forma fechada muito limpa. Se o imposto leva uma fração t do rendimento nominal, o rendimento real que conserva cai t × n ÷ (1 + i), e expresso como fração do rendimento real que teria tido, a taxa efetiva sobre o seu rendimento real é t × n ÷ (n − i). A 8 % nominais, 3 % de inflação e uma taxa de 30 %, isso dá 0,30 × 8 ÷ 5 = 48 %: uma taxa nominal de 30 % leva 48 % do que realmente ganhou. Percorra a escala e a aritmética não perdoa — 15 % nominais são 24,0 % do rendimento real; 26,375 %, 42,2 %; 30 %, 48,0 %; 40 %, 64,0 %.

A mesma fórmula dá a taxa de inflação a que o seu rendimento real depois de impostos chega a zero: resolvendo em ordem a i obtém-se i = n × (1 − t). A 8 % nominais com uma taxa de 30 %, uma inflação de 5,6 % deixa-o exatamente onde começou em poder de compra, apesar de um ganho positivo, tributável e declarável todos os anos. É esta a ordenação honesta dos três efeitos desta página. A correção de Fisher vale 0,15 pontos no nosso exemplo. O imposto vale 2,33 pontos. E o imposto e a inflação interagem em vez de se somarem, porque o imposto incide sobre um rendimento que inclui a compensação da inflação. Trate primeiro do envelope fiscal, trate depois da fórmula, e nunca deixe o segundo debate expulsar o primeiro.

Perguntas frequentes

A subtração é alguma vez a operação certa?

Sim, em dois casos honestos. O primeiro é o cálculo mental em que conhece o sentido do enviesamento e ele não muda a decisão: a 2 % de inflação o atalho está alto em 2 % da resposta, o que sobre um rendimento real de 3 % são seis centésimas de ponto, e nenhuma decisão de poupança se decide por isso. O segundo é trabalhar em rendimentos compostos continuamente, onde a relação é mesmo uma subtração: se definir o rendimento logarítmico como o logaritmo natural de um mais o rendimento simples, então o rendimento real logarítmico é exatamente o nominal logarítmico menos a inflação logarítmica, sem qualquer termo corretivo, porque os logaritmos transformam a divisão numa diferença. É por isso que as grandezas em capitalização contínua são a convenção em boa parte do trabalho obrigacionista e académico. A armadilha é misturar convenções — subtrair uma inflação logarítmica de um rendimento nominal simples produz um número que não é nenhum dos dois.

Que taxa de inflação devo pôr — o índice publicado ou a minha?

Depende de para que serve a resposta, e os dois usos precisam mesmo de entradas diferentes. Se compara o seu resultado com um índice de referência, um fundo, um rendimento obrigacionista ou outro investidor, use o índice publicado da sua zona monetária, porque é por ele que todos os outros deflacionam e uma comparação só faz sentido numa unidade comum. Se pergunta se poderá pagar algo no futuro, o índice publicado é uma média ponderada de um cabaz nacional, e o seu cabaz não é esse: alguém cuja despesa é dominada pela renda numa dada cidade, ou por creche, ou por energia, enfrenta uma inflação pessoal que pode afastar-se muito do número de manchete durante anos. Faça as duas. O número publicado diz-lhe como se saiu; o seu diz-lhe o que isso comprará. E repare na assimetria que a identidade acima implica: como o erro escala com i, uma taxa pessoal alguns pontos acima da nacional não desloca apenas a resposta, também piora o atalho na mesma proporção.

E se a inflação for negativa?

A fórmula não muda e o enviesamento inverte-se. Com 2 % nominais e preços a cair 1 %, o rendimento real exato é 1,02 ÷ 0,99 − 1 = 3,0303 %, enquanto o atalho diz 3,0000 — o atalho fica agora curto, em exatamente 1 % da resposta, que é i outra vez com o seu próprio sinal. A deflação favorece o poupador exatamente como a inflação o castiga, e o efeito sobre um rendimento real é maior do que se espera: preços a cair 5 % transformam 2 % nominais em 7,3684 % reais, onde o atalho diria 7. O único ponto onde a aritmética parte mesmo é uma inflação de exatamente menos 100 %, onde o denominador se anula e o rendimento real fica indefinido — curiosidade matemática mais do que cenário económico, mas a razão pela qual uma calculadora bem feita recusa essa entrada em vez de devolver um infinito.

Em que difere de simplesmente deflacionar o montante final no fim?

Não difere em nada, e essa é a melhor verificação de todo o exercício. Capitalizar à taxa real exata e deflacionar o resultado nominal pelo índice de preços são a mesma operação escrita de duas maneiras, porque dividir uma vez no fim por (1 + i) elevado ao número de anos é algebricamente idêntico a dividir por (1 + i) dentro de cada ano. Os nossos números mostram-no: 10 000 € a 8 % durante trinta anos dão 100 626,57 €, divididos por 1,03 elevado a trinta dão 41 456,81 €, e capitalizar 10 000 € à taxa real exata de 4,8544 % durante trinta anos dá também 41 456,81 €. Se os seus dois caminhos discordam, um deles tem uma subtração lá dentro. A razão prática para preferir a taxa real é que torna legível a comparação com um objetivo: um real de 4,8544 % diz-lhe de imediato que o poder de compra quadruplica aproximadamente em trinta anos, ao passo que 8 % nominais e uma série de inflação à parte não lhe dizem nada até ter feito a divisão de qualquer modo.