Sete por cento durante dez anos duplica quase exatamente

A média de duas taxas anuais não é a taxa de crescimento

Ganha 50 % num ano e perde 50 % no seguinte: a média aritmética é zero enquanto o dinheiro caiu 25 %, porque 1,5 × 0,5 = 0,75. O crescimento composto usa a média geométrica, que para esse par vale −13,4 % ao ano, e a diferença entre as duas médias não é um detalhe de arredondamento — é a razão pela qual um investimento volátil apresentado pelo seu rendimento médio anual pode estar a perder dinheiro todo o tempo. Sempre que o crescimento se encadeia entre períodos, só o número geométrico descreve o que aconteceu.

Dois pontos de comissões comem um terço do ganho

Repete os mesmos dez anos a 5 % em vez de 7 %: 10.000 tornam-se 16.288,95, o ganho cai de 9.671,51 para 6.288,95, e dois pontos de custo anual levaram 35 % do lucro. É o argumento mais sólido das finanças pessoais e não precisa de qualquer previsão para ser verdadeiro, porque a comissão é certa e o rendimento não. Alonga o horizonte e piora — a trinta anos, esses mesmos dois pontos levam mais de metade.

Perguntas frequentes

Porque é que a regra dos 72 usa 72?

O tempo exato de duplicação é ln 2 ÷ ln(1 + r), e ln 2 vale cerca de 0,693: a constante matematicamente pura estaria perto de 69,3 em capitalização contínua. Prefere-se 72 porque se divide limpo por 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12, e porque esse pequeno ajuste em alta compensa justamente a passagem da capitalização contínua à anual nas taxas realmente usadas. É exata a poucos meses entre cerca de 4 % e 12 %, e desvia-se nitidamente fora dessa faixa.

Devo usar crescimento nominal ou real?

Real, se o que importa é o que o dinheiro comprará. Fazer crescer 10.000 a 7 % enquanto os preços sobem 3 % deixa cerca de 3,9 % de crescimento real ao ano — o quociente 1,07 ÷ 1,03, não a subtração — e ao fim de dez anos isso são 14.637 em poder de compra de hoje, não 19.671. Os números nominais só são os certos quando a obrigação é nominal, como uma prestação fixa que a inflação encolhe em silêncio.