Um sorteio de amigo secreto falha 63 % das vezes, seja qual for o grupo

Porque a resposta deixa de depender do grupo

Acrescentar uma pessoa acrescenta uma hipótese de ela se tirar a si própria, e acrescenta também um nome que todos os outros podem tirar em vez disso. Os dois efeitos quase se cancelam, e o resto é uma série alternada cujos termos decrescem como os inversos dos fatoriais — precisamente a série de 1/e. Como os fatoriais crescem tão depressa, a cauda dessa série é desprezável ao fim de um punhado de termos, e a resposta congela. A intuição espera que um grupo grande seja mais seguro, com o argumento de que o próprio nome é uma fração menor do chapéu; a aritmética responde que as oportunidades adicionais de falha chegam ao mesmo ritmo.

Repetir o sorteio não é o remédio que se julga

Sortear de novo até ninguém ter o próprio nome produz de facto uma atribuição válida, e em média são precisas cerca de 2,7 tentativas para lá chegar — um a dividir por 0,368. O que não produz é uma atribuição válida uniformemente aleatória, se a repetição for feita de qualquer maneira: trocar apenas o par culpado, ou deixar quem se tirou a si próprio escolher de novo do que resta, enviesa o resultado de um modo invisível num sorteio e evidente ao longo de uns anos da mesma festa de escritório. As abordagens limpas são rejeitar o sorteio inteiro e recomeçar, ou construir um único ciclo aleatório que percorra todos os nomes, o que é um desarranjo por construção.

Perguntas frequentes

O que é exatamente um subfatorial?

Conta as permutações de n objetos que não deixam nada no lugar, e escreve-se !n, com a exclamação à frente. Tem uma recorrência limpa — !n vale n−1 vezes a soma dos dois subfatoriais anteriores — e um atalho ainda mais limpo: !n é o inteiro mais próximo de n! a dividir por e, para todo o n a partir de um. Esse segundo facto explica que a razão da tabela convirja de forma tão visível; o número de desarranjos é essencialmente um fatorial dividido por e, arredondado, e o arredondamento é a única coisa que separa a sucessão da constante.

A mesma matemática cobre os problemas de emparelhamento em geral?

Cobre a versão pura e pára onde começam as restrições. Os desarranjos respondem à pergunta de ninguém se tirar a si próprio, e a mais nada: assim que uma regra se acrescenta — os casais não devem tirar-se, os pares do ano passado ficam vedados, alguém está ausente — a contagem muda e a bonita convergência para 1/e desaparece. Essas variantes continuam contáveis, normalmente por inclusão-exclusão, mas já não têm uma resposta única e memorável. Os 36,8 por cento são uma referência para o caso sem restrições, e vale a pena conhecê-la precisamente porque tantos sorteios reais partem daí antes de alguém acrescentar uma regra.