Capacidad de proceso: Cp, Cpk y lo que el Six Sigma afirma en realidad

El Cp: la tolerancia frente a la dispersión

El Cp es un cociente de dos anchuras. El numerador es la anchura de la especificación, LSE − LIE, el sitio que te deja el plano. El denominador es 6σ, la anchura que ocupa el proceso — seis desviaciones típicas, porque ±3σ cubre el 99,73 % de una distribución normal y 6σ es el atajo convencional para «todo el proceso». Así que Cp = (LSE − LIE) ÷ 6σ, y responde a una sola pregunta: ¿cabría este proceso dentro de esta tolerancia si estuviera perfectamente apuntado? Un Cp de 1,00 significa que el proceso llena exactamente la tolerancia sin margen. Un Cp de 1,33 significa que la tolerancia es un tercio más ancha de lo que el proceso necesita.

Hagamos uno. Un eje se especifica entre 9,80 y 10,20 milímetros — una anchura de tolerancia de 0,40 — y el proceso tiene una desviación típica de 0,05 milímetros. Cp = 0,40 ÷ (6 × 0,05) = 0,40 ÷ 0,30 = 1,333. Fíjate bien en lo que no entró en ese cálculo: la media. El Cp es ciego a dónde apunta el proceso, y todas las consecuencias de este artículo salen de esa ceguera.

El Cpk: la penalización por estar descentrado

El Cpk repara esa ceguera midiendo cada lado por separado y quedándose con el peor. Cpk = mín[(LSE − μ) ÷ 3σ, (μ − LIE) ÷ 3σ]. El 3σ de cada denominador es la mitad del 6σ del Cp, porque ahora cada término mide un lado de la distribución y no el conjunto. Cuando el proceso está exactamente en el punto medio de la tolerancia, los dos términos son iguales y el Cpk vale el Cp. Cualquier deriva fuera del centro hace un término más pequeño, de modo que el Cpk es siempre menor o igual que el Cp, y la diferencia entre ambos mide puramente el descentrado.

Merece la pena mantener la pareja junta porque responden a dos preguntas de gestión distintas. El Cp pregunta si la máquina y el método son capaces siquiera — si la variación es lo bastante pequeña para la pieza. El Cpk pregunta si el proceso está bien ajustado ahora mismo. Un Cp bajo es un problema de ingeniería: hace falta mejor máquina, mejor utillaje o un método más estrecho. Un Cp alto con un Cpk bajo es un problema de ajuste: el equipo puede hacerlo, solo hay que mover la puntería, y eso suele ser barato y rápido.

La misma dispersión, 359 veces más chatarra

Toma la misma especificación y la misma σ = 0,05, así que el Cp es 1,333 en ambos casos, y pásale dos medias. Centrado en 10,00, cada límite queda a (0,20 ÷ 0,05) = 4 desviaciones típicas, así que Cpk = 4 ÷ 3 = 1,333, igual al Cp. La fracción fuera de tolerancia es Φ(−4) por cada lado, es decir 31,671 por millón por cola y 63,34 por millón en total — una pieza de cada 15 787.

Mueve ahora la media a 10,10, dos desviaciones típicas más arriba, sin tocar la dispersión. El Cp sigue siendo 1,333 — el proceso es exactamente igual de estrecho. Pero el límite superior queda ahora a solo (10,20 − 10,10) ÷ 0,05 = 2 desviaciones típicas mientras el inferior está a 6, así que Cpk = mín(2 ÷ 3, 6 ÷ 3) = 0,667. La tasa de chatarra es Φ(−2) por encima del límite superior, 22 750,13 por millón, más un Φ(−6) = 0,000987 por millón completamente despreciable por debajo del inferior. Total: 22 750 defectos por millón, un 2,275 %, una pieza de cada 44.

Esa es toda la razón de existir de ambos índices. Dos procesos con un Cp idéntico de 1,333 — máquinas idénticas, variación idéntica, capacidad idéntica en el sentido de la ingeniería — producen 63 defectos por millón y 22 750 defectos por millón, un factor de 359. Un informe de capacidad que cite solo el Cp no te ha dicho nada sobre la chatarra. Si solo vas a mirar un número, mira el Cpk; si vas a actuar, mira los dos, porque señalan arreglos distintos.

3,4 por millón, y la deriva de 1,5σ que lo produce

«Seis sigma» como nivel de calidad significa que el límite de especificación más cercano está a seis desviaciones típicas de la media, lo que para un proceso centrado es un Cp y un Cpk de 2,00. Calcula la tasa de defecto directamente desde la distribución normal y obtienes 2 × Φ(−6) = 0,00197 defectos por millón. Es decir, unas dos piezas por mil millones. No es 3,4, ni se le acerca — las dos cifras difieren en un factor de 1 722.

El 3,4 viene de una hipótesis añadida. La convención dice que la media de un proceso no se queda quieta: a lo largo de horas, turnos, cambios de herramienta y lotes de materia prima, deriva, y la tolerancia aceptada para esa deriva a largo plazo es de 1,5σ. Supón la media a 1,5σ del objetivo y el límite cercano queda a solo 6 − 1,5 = 4,5 desviaciones típicas. Calcula esa cola: Φ(−4,5) = 3,398 por millón. El límite lejano está ahora a 7,5σ y aporta 0,0000000319 por millón, es decir nada. Así que el número es 3,398, citado como 3,4 defectos por millón de oportunidades. Es aritméticamente exacto — dada la deriva.

La misma convención reescribe toda la tabla. A tres sigma, la normal centrada da 2 699,80 defectos por millón; con la deriva, 66 810,6, veinticinco veces más. A cuatro sigma, 63,34 pasa a 6 209,68. A cinco sigma, 0,573 pasa a 232,6. La brecha crece con el nivel sigma porque estás quitando un 1,5σ fijo de una cola cada vez más empinada. Por eso la deriva importa más precisamente donde los argumentos comerciales son más ruidosos.

De dónde salió la deriva, y hasta qué punto se discute

La tolerancia de 1,5σ no salió de medir ningún proceso concreto. Desciende de trabajos de tolerancias estadísticas de los años setenta — la regla empírica de Bender para acumular tolerancias contemplaba un factor por el hecho de que las medias se desplazan — y fue adoptada en Motorola en los años ochenta como corrección estándar entre la capacidad a corto plazo, medida sobre una serie de piezas consecutivas, y el desempeño a largo plazo a lo largo de semanas de producción. La intención era razonable: un estudio de capacidad hecho en un turno, con un operario y una barra de material, sí subestima la variación que verá el cliente.

Lo que se discute es la universalidad del número. No hay razón para que un proceso continuo bien controlado derive exactamente 1,5σ, ni para que un proceso por lotes mal controlado derive solo eso. Las justificaciones estadísticas de 1,5 como valor general — incluida la más conocida, que la deduce de la probabilidad de que un gráfico de control sobre subgrupos pequeños no detecte un desplazamiento de ese tamaño — son construcciones a posteriori, y la literatura de calidad lleva décadas discutiéndolas. Trata el 1,5σ por lo que es: una convención documentada que hace comparables los niveles sigma publicados, no una propiedad empírica de tu proceso.

La consecuencia práctica es una regla de etiquetado. Todo nivel sigma o cifra DPMO debería llevar la coletilla «con la deriva de 1,5σ» o «sin ella», porque las dos difieren en tres órdenes de magnitud en el extremo de seis sigma. En los propios índices, es la misma distinción que entre Cp y Cpk por un lado y Pp y Ppk por otro: el primer par usa por convención una estimación de σ dentro del subgrupo y describe la capacidad a corto plazo, el segundo usa la desviación típica total de todos los datos y describe el desempeño realmente entregado.

Treinta piezas no son un estudio de capacidad

Todas las cifras anteriores suponían σ conocida. No lo es: se estima a partir de una muestra, y la estimación es mucho más ruidosa de lo que se cree. Como (n − 1)s² ÷ σ² sigue una distribución ji-cuadrado, un intervalo de confianza al 95 % para el Cp va de Ĉp × √(χ²₀,₀₂₅,ₖ ÷ k) a Ĉp × √(χ²₀,₉₇₅,ₖ ÷ k) con k = n − 1 grados de libertad. Con n = 30 esos multiplicadores son 0,7439 y 1,2556, así que un Cp medido de 1,333 da un intervalo de 0,992 a 1,674.

Traduce los dos extremos a chatarra y el problema se ve. Un proceso centrado con Cp = 0,992 produce 2 920,35 defectos por millón; con Cp = 1,674 produce 0,511. Es la misma medición siendo compatible con tasas de defecto separadas por un factor de 5 711. Aumentar la muestra ayuda, pero despacio: con n = 50 el intervalo va de 1,070 a 1,596, con n = 100 de 1,148 a 1,519 — todavía un factor 110 en la tasa de defecto — con n = 200 de 1,202 a 1,464 y con n = 500 de 1,251 a 1,416.

Así que un índice de capacidad calculado sobre treinta piezas debe informarse con su intervalo o no informarse en absoluto, y la costumbre de aceptar un proceso con un solo Ĉpk de 1,33 salido de una tirada de treinta piezas es una prueba más débil de lo que parece. Conviene recordar además que una tirada corta subestima la variación por una segunda razón, distinta: treinta piezas consecutivas comparten un operario, una herramienta, un reglaje y un lote de material, así que miden la variación dentro del subgrupo y no dicen nada de la variación entre subgrupos que el cliente encontrará.

Todo esto supone normalidad — así que compruébala

Convertir un índice de capacidad en tasa de defecto usa la distribución normal, y cada cifra en ppm de este artículo — incluido el famoso 3,4 — vale solo lo que valga esa hipótesis. El problema es que los índices de capacidad viven en las colas extremas, justo donde las distribuciones más difieren y donde menos datos tienes para comprobarlas.

Cuantifica una desviación leve. Toma una distribución t de Student reescalada para tener exactamente la misma desviación típica, y por tanto el mismo Cp, y calcula la cola más allá de seis desviaciones típicas. Con 30 grados de libertad — un exceso de curtosis de 0,2, apenas detectable — la cola vale 0,3875 por millón frente al 0,000987 de la normal, 393 veces más pesada. Con 10 grados de libertad, 26,55 por millón, 26 900 veces más pesada. Con 5 grados de libertad, 286,6 por millón, unas 290 000 veces más pesada. Una distribución que te costaría rechazar con cien datos destruye la estimación que construiste sobre ella.

Así que haz tres cosas antes de publicar un número de capacidad. Confirma que el proceso es estable, con un gráfico de control, porque un índice calculado sobre un proceso fuera de control no describe nada. Comprueba la distribución en vez de suponerla, y si es realmente asimétrica — como suelen serlo planitud, redondez, concentricidad y cualquier característica acotada en cero — usa los índices basados en percentiles definidos para datos no normales en la serie ISO 22514 en vez de forzar un ajuste normal. Y publica el Cpk con su intervalo de confianza y su tamaño de muestra, para que el siguiente lector sepa cuánto hay de medición y cuánto de ruido.

Preguntas frecuentes

¿Puede el Cpk ser mayor que el Cp?

Nunca. El Cpk toma la menor de las dos distancias a un límite y la divide entre 3σ, mientras que el Cp divide la semianchura de la tolerancia entre 3σ. Cuando el proceso está exactamente centrado las dos distancias son iguales y el Cpk vale el Cp; cualquier deriva hace una de ellas menor. Así que Cpk ≤ Cp siempre, y si un informe muestra un Cpk por encima del Cp, hay un error aritmético o se calcularon con datos distintos. La distancia entre ambos es por sí sola una medida limpia del descentrado.

¿Qué diferencia hay entre Cp/Cpk y Pp/Ppk?

Las fórmulas son idénticas; la estimación de σ no. El Cp y el Cpk usan por convención una estimación dentro del subgrupo — a partir del rango medio o la desviación típica media de subgrupos racionales pequeños — que solo capta la variación presente en unas pocas piezas consecutivas. El Pp y el Ppk usan la desviación típica global de todos los datos, que contiene además la deriva entre subgrupos, los cambios de herramienta y los lotes de material. El Cp y el Cpk describen por tanto la capacidad a corto plazo y el Pp y el Ppk el desempeño entregado, que es justamente la brecha que la convención de la deriva de 1,5σ se inventó para salvar.

¿Son 3,4 defectos por millón realmente alcanzables?

Es un objetivo definido, no una constante física, y que sea alcanzable depende por completo de la característica. Lo que ese número no puede es verificarse por medición en la mayoría de las fábricas: demostrar una tasa de 3,4 por millón con alguna confianza requiere cientos de miles de piezas, así que en la práctica siempre se infiere de un índice de capacidad y nunca se observa. Dados los intervalos de confianza del Cpk con tamaños de muestra realistas, esa inferencia lleva mucha más incertidumbre de la que sugiere una cifra con dos decimales.

¿Cuántas piezas hacen falta para un estudio de capacidad?

Más de las treinta que sugiere la costumbre, y la forma correcta de elegir es decidir con qué anchura de intervalo puedes vivir. Con n = 30 un Cp medido de 1,333 lleva un intervalo al 95 % de 0,992 a 1,674; con n = 100 se estrecha a 1,148-1,519; con n = 200 a 1,202-1,464. La precisión mejora aproximadamente con la raíz cuadrada de la muestra, así que reducir el intervalo a la mitad cuesta cuatro veces las piezas. Igual de importante es repartir la muestra entre turnos, operarios, cambios de herramienta y lotes de material, porque una muestra grande tomada en una sola tirada mide la variación equivocada con gran precisión.

¿Y si mis datos no son normales?

Entonces no conviertas el índice en tasa de defecto usando la distribución normal, porque el error cae entero en la cola que te importa. Las características acotadas en cero — planitud, redondez, excentricidad, rugosidad, recuentos de contaminación — suelen ser asimétricas por construcción y nunca deben forzarse a un ajuste normal. La serie ISO 22514 define índices de capacidad basados en percentiles justo para este caso, usando los cuantiles del 0,135 % y del 99,865 % de la distribución realmente ajustada en lugar de μ ± 3σ. Las alternativas son transformar los datos o ajustar una distribución que les convenga; lo que no debes hacer es publicar un Cpk que asumió la normalidad en silencio.