Calculadora do algoritmo de Euclides estendido

Executa o algoritmo de Euclides estendido sobre dois inteiros a e b: devolve o seu máximo divisor comum junto com os coeficientes de Bézout x e y que satisfazem a·x + b·y = mdc(a, b). Para além do mdc, esses coeficientes são exatamente o que precisas para construir inversos modulares e resolver equações diofantinas lineares. É mostrada a tabela completa de divisões para seguir cada redução.

A ferramenta interativa precisa de JavaScript para funcionar. Todo o resto desta página — como funciona, um exemplo resolvido e as respostas às perguntas habituais — está mais abaixo e não precisa de nada.

Ferramentas relacionadas

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Calculadora de mmcEncontre o mínimo múltiplo comum (e o MDC) de dois números.Calculadora de inverso multiplicativo modularEncontra a⁻¹ mód m — o número x com a·x ≡ 1 (mód m) — usando o algoritmo de Euclides estendido. Um inverso existe exatamente quando mdc(a, m) = 1; caso contrário, a ferramenta indica que não há nenhum. O inverso modular permite «dividir» na aritmética modular e é o passo que produz o expoente privado RSA d a partir do público e.Verificador de números amigosVerifique se dois números são amigos — ou dê apenas um e obtenha o parceiro candidato com o ciclo verificado, identificando números perfeitos e sociáveis.Calculadora arctan2 (atan2 de y e x)atan2(y, x) não é atan(y/x): lê os sinais dos dois argumentos para colocar o ângulo no quadrante certo na volta completa −180°…180°, e continua definido quando x = 0. Introduza x e y, leia o ângulo em graus ou radianos, veja o quadrante e o ponto traçado. Para um simples quociente sem informação de quadrante, use a calculadora de arcotangente.Visualizador de transporte e empréstimoSoma ou subtrai dois inteiros como se ensina na escola — em colunas, dígito a dígito — e destaca cada transporte (adição) ou empréstimo (subtração) à medida que acontece. Uma forma clara de ver a mecânica do cálculo em coluna.Calculadora de funções teto e pisoO teto ⌈x⌉ arredonda para cima, o piso ⌊x⌋ para baixo. Introduz qualquer número para obter ambos, mais o arredondamento normal, o truncamento para zero e a parte fracionária restante.Calculadora de divisores comunsEncontre todos os divisores comuns de 2 a 10 números, com o MDC destacado e os números primos entre si assinalados.Calculadora de comparação de fraçõesQual fração é maior? Introduz duas e o produto cruzado compara-as exatamente — sem arredondar — e mostra-as em decimais para veres a diferença.

A Calculadora do algoritmo de Euclides estendido transforma a, b em mdc(a, b), Bézout x, Bézout y, Identidade de Bézout, ao instante e de graça. Por exemplo, com a = 252 e b = 105 devolve mdc(a, b) = 21, Bézout x = -2 e Bézout y = 5.

Como usar

Introduza os seus valores: a, b.
Veja o resultado ao instante: mdc(a, b), Bézout x, Bézout y, Identidade de Bézout.

Perguntas frequentes

O que calcula exatamente a Calculadora do algoritmo de Euclides estendido?

Parte de a e b para deduzir mdc(a, b), Bézout x, Bézout y e Identidade de Bézout. O cálculo é feito à medida que escreves, por isso o resultado atualiza a cada alteração.

Que informação preciso de fornecer?

2 valores: a e b. Não é preciso mais nada — nem conta, nem carregar ficheiros.

Podem dar um exemplo com números?

Com a = 252 e b = 105, a calculadora devolve mdc(a, b) = 21, Bézout x = -2 e Bézout y = 5. Estes números vêm desta mesma ferramenta: introduz os mesmos valores para os reproduzires.

Em que casos se usa na prática?

Ler um número escrito de outra forma: um numeral romano num monumento, uma cor hexadecimal, um byte binário ou uma fração por simplificar.

Qual é o erro mais comum?

Assumir que uma fração decimal sobrevive a uma mudança de base. Um décimo é exato em decimal e infinitamente periódico em binário: por isso 0,1 + 0,2 não dá 0,3 na maioria das linguagens.

De onde vêm os dados e quão atuais são?

As conversões de base e os resultados de teoria dos números são exatos. Os numerais romanos seguem a forma subtrativa padrão usada desde a Idade Média, que não é a única que os próprios romanos usavam.

Para saber mais

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