La fórmula de raíz cuadrada del lote económico, y dónde deja de ser cierta

Por qué la respuesta es una raíz cuadrada

Dos costes se mueven en sentidos opuestos cuando cambias el tamaño de un pedido. El coste de pedido es el trabajo fijo de emitir la orden, recibirla y pagar la factura, y lo soportas D/Q veces al año — así que baja cuando el pedido crece. El coste de posesión es capital, espacio, seguro y obsolescencia sobre el stock medio que mantienes, que es Q/2 — así que sube cuando el pedido crece. Escribe la suma, D/Q × S + Q/2 × H, deriva, iguala a cero: los dos términos resultan iguales en el óptimo. Resuelve esa igualdad y sale la raíz cuadrada: Q* = √(2DS/H).

Esa igualdad merece recordarse como comprobación. Con 25 000 unidades al año, 80 € por pedido y 4 € por unidad-año de posesión, la fórmula da 1 000 unidades. Veinticinco pedidos al año a 80 € son 2 000 € de coste de pedido; un stock medio de 500 unidades a 4 € son 2 000 € de posesión. Coinciden, como deben. El total, 4 000 €, también se lee directamente como √(2DSH) — los mismos números reordenados. Si tu hoja de cálculo produce un lote óptimo donde las dos líneas de coste no son iguales, lo que está mal es la aritmética, no la teoría.

El fondo plano es la noticia honesta

Divide el coste a cualquier cantidad entre el coste en el óptimo y casi todo se cancela. Queda ½(Q/Q* + Q*/Q) — un cociente que solo depende de cuánto te desvías, no de la demanda, ni de S, ni de H. Pide un 20 % de más y pagas un 1,7 % más. Pide un 20 % de menos y pagas un 2,5 % más. Pide un 50 % de más y pagas un 8,3 % más. Hay que llegar al doble o a la mitad del óptimo para que la factura suba un 25 %. Cerca del fondo, la curva es casi una horizontal.

Esto es lo más práctico que dice el lote económico, y suele quedar enterrado. La fórmula rara vez produce un número que un almacén pueda usar: 1 000 unidades pueden ser 41 cajas o dos tercios de palé. La planitud dice: redondea. Pasar al palé completo con 1 200 unidades cuesta 67 € al año sobre una base de 4 000 €. Pasar al camión con 1 500 cuesta 333 €. Frente a los ahorros de manipulación, roturas y administración de expedir unidades de embalaje enteras, ambos suelen ser buen negocio. El lote económico no es la orden de pedir exactamente 1 000; es la afirmación de que cualquier cifra entre unas 800 y 1 250 está a menos del 2,5 % de lo mejor posible.

Menos mal, porque S y H son los números más difíciles de todos

La demanda anual la sacas del sistema de ventas. Las otras dos hay que construirlas. S se supone que es el coste incremental de emitir un pedido más — pero la mayor parte de lo que cuesta un departamento de compras es salario que no cambia tanto si emite 25 pedidos como 30. Divide el presupuesto del departamento entre el número de pedidos y obtienes una media, no un coste marginal, y esa media casi siempre es demasiado alta. H es peor: coste de capital, almacenaje, seguro, mermas, obsolescencia. Solo el componente de capital te obliga a elegir una tasa de descuento, y el de obsolescencia es una apuesta sobre el futuro.

La planitud te salva. Como Q* es proporcional a √(S/H), solo importa el cociente, y un error en ese cociente lo divide entre dos la raíz cuadrada antes de llegar a la cantidad. Equivócate por un factor dos en S/H, en cualquier dirección, y la cantidad recomendada se mueve un 41 % — lo que, según la tabla anterior, cuesta un 6,1 %. Equivócate por un factor cuatro y la cantidad se dobla o se parte por la mitad, por un 25 %. Todo lo que quede por debajo de un error de factor cuatro en tus supuestos de coste es una diferencia de redondeo. Pon el esfuerzo en la cifra de demanda y en las restricciones; son ellas las que de verdad mueven la respuesta.

Ruptura uno: los descuentos por cantidad

La fórmula nunca ve el precio de la mercancía, porque a precio unitario constante el coste de compra vale D × C sea cual sea el reparto de los pedidos — es el mismo en todos los escenarios y desaparece de la comparación. Un descuento por cantidad destruye eso. Supón un coste unitario de 20 €, un coste de posesión fijado en el 20 % del valor (lo que da exactamente los 4 € usados arriba), y un proveedor que ofrece un 2 % de descuento a partir de 2 500 unidades. El descuento vale un 2 % de 500 000 €, es decir 10 000 € al año. No es un número pequeño junto a un total de 4 000 € de pedido y posesión.

Haz el cálculo completo. Comprar de 2 500 en 2 500 son 10 pedidos al año, 800 € de coste de pedido. El coste unitario con descuento es 19,60 €, así que la posesión al 20 % del valor pasa a 3,92 € por unidad-año, y un stock medio de 1 250 unidades cuesta 4 900 €. Pedido más posesión sube de 4 000 € a 5 700 € — un aumento de 1 700 € — mientras la factura de compra cae de 500 000 € a 490 000 €. Todo incluido: 504 000 € frente a 495 700 €, un ahorro neto de 8 300 € al año. La respuesta del lote económico queda ampliamente batida por la tarifa de un proveedor, y por eso toda evaluación seria de un descuento calcula el coste total en cada escalón de precio y no en el óptimo sin restricciones.

Ruptura dos: demanda irregular y reaprovisionamiento a ritmo finito

El lote económico supone que la demanda llega a un ritmo suave y constante. Toma las mismas 25 000 unidades al año pero concentra 15 000 en dos meses. Durante el pico el ritmo anualizado es de 90 000 unidades, y la cantidad correcta allí es √(2 × 90 000 × 80 / 4) = 1 897. Para las 10 000 restantes repartidas en diez meses el ritmo anualizado es 12 000 y la cantidad correcta 693. Haz funcionar el lote anual de 1 000 durante el pico y la fórmula del cociente te cobra un 21,2 % sobre lo que costaría una cantidad estacional. Todo producto con estacionalidad real exige recalcular su lote por temporada, o un método de lotificación dinámica — Wagner-Whitin es el exacto, Silver-Meal la aproximación practicable.

El segundo supuesto estructural es que todo el pedido llega de golpe. Cuando fabricas en lugar de comprar, el stock sube mientras la producción funciona y baja cuando se detiene, así que el stock medio es inferior a Q/2 y puedes permitirte series más largas. El lote económico de producción lo corrige: √(2DS / (H(1 − D/P))). A un ritmo de producción de 50 000 unidades al año frente a una demanda de 25 000, el factor (1 − D/P) vale 0,5, la serie óptima sube a 1 414 unidades, el stock punta es de solo 707, y el coste mínimo real cae a 2 828 €. Aplica el lote de compra de 1 000 en ese contexto y pagas 3 000 € — un 6,1 % de más, y además dimensionas por debajo cada serie de producción.

Para qué sirve todavía el lote económico

Trátalo como una comprobación de escala, no como una instrucción. Te dice si el pedido correcto son unas cien unidades o unas diez mil, y esa es justo la pregunta que la mayoría falla — normalmente pidiendo demasiado a menudo artículos baratos y voluminosos, y demasiado poco artículos caros y compactos. Una vez que el lote económico ha fijado el orden de magnitud, mandan las restricciones: cantidades por palé, importes mínimos de pedido, llenado de contenedor, vida útil, escalones de precio del proveedor y capacidad de hueco en el almacén. Como la curva es plana, dejar ganar a esas restricciones no cuesta casi nada.

Y mantenlo en su carril. El lote económico responde a cuánto pedir; no dice nada de cuándo. Eso es el punto de pedido, que depende del plazo de entrega y de la variabilidad de la demanda durante ese plazo, y es donde vive el stock de seguridad. Las dos preguntas son independientes en el modelo clásico y suele convenir mantenerlas independientes en la práctica: dimensiona el pedido con el lote económico y las restricciones, y dispáralo con un punto de pedido que refleje el nivel de servicio prometido.

Preguntas frecuentes

¿Cuánto puede desviarse mi cantidad de pedido antes de que cueste dinero de verdad?

Usa ½(Q/Q* + Q*/Q). A un 20 % del óptimo en cualquier dirección la penalización es inferior al 2,5 %; con un 50 % de más es del 8,3 %; hay que doblar o partir por la mitad la cantidad para llegar al 25 %. En el ejemplo trabajado eso significa que cualquier cifra entre unas 800 y 1 250 unidades no cuesta más de 100 € al año por encima de los 4 000 € óptimos. Redondea a lo que pida tu embalaje, tu palé o tu camión.

¿Qué debo poner realmente como coste de pedido S?

Solo costes que cambian de verdad cuando emites un pedido más: el flete de entrada facturado por expedición, la mano de obra de recepción y la inspección, y cualquier tasa de proveedor o aduanera por pedido. Deja fuera el sueldo del comprador, la licencia del ERP y los gastos generales del departamento — están ahí pidas 25 o 30 veces. Dividir el coste total de compras entre el número de pedidos da una media que sobrestima S y sesga los pedidos al alza. Como la curva es plana, incluso un error de factor dos cuesta solo un 6,1 %: no te tortures, basta con ser coherente entre S y H.

¿El lote económico me dice cuándo volver a pedir?

No. El lote económico responde a cuánto; el punto de pedido responde a cuándo. El punto de pedido es la demanda media durante el plazo de entrega más el stock de seguridad, y este depende de la variabilidad de la demanda y del plazo, y del nivel de servicio elegido. En el modelo clásico las dos decisiones no interactúan, así que puedes dimensionar el pedido con el lote económico y fijar el disparador aparte sin que uno estropee al otro.

Un proveedor ofrece un descuento por encima de mi lote económico. ¿Cómo decido?

Calcula el coste anual completo — compras más pedido más posesión — con tu lote económico y de nuevo en cada escalón de precio, y compara los totales. Recuerda recalcular el coste de posesión sobre el valor con descuento si lo expresas en porcentaje. En el ejemplo anterior, un descuento del 2 % a 2 500 unidades sube pedido más posesión en 1 700 € pero recorta la factura de compra en 10 000 €, así que el descuento gana por 8 300 € al año. Los descuentos suelen ganar, porque la factura de compra es un orden de magnitud mayor que los costes que el lote económico optimiza.

¿Sigue siendo relevante el lote económico con suministro justo a tiempo?

Sí, pero apunta en sentido contrario al que se cree. El justo a tiempo no es un rechazo del lote económico; es un ataque contra S. Reduce a la mitad el coste de emitir un pedido — pedido electrónico, contratos marco, cambios de serie más rápidos — y la cantidad óptima cae un 29 %, y el coste relevante total cae con ella, porque el óptimo vale √(2DSH). Las entregas pequeñas y frecuentes solo son económicas una vez aplastado el coste fijo de una entrega. El lote económico es precisamente la fórmula que cifra cuánto vale esa reducción.