Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal)

Convierte un conjunto de vectores en una base ortonormal con el proceso de Gram-Schmidt: cada vector se hace ortogonal a los anteriores y luego se normaliza a longitud unidad. Introduce un vector por fila en una cuadrícula editable y devuelve la base ortonormal, descartando los vectores linealmente dependientes. Las bases ortonormales son la base de la factorización QR, el análisis de Fourier y las proyecciones.

La herramienta interactiva necesita JavaScript para funcionar. Todo lo demás de esta página —cómo funciona, un ejemplo resuelto y las respuestas a las preguntas habituales— está más abajo y no necesita nada.

Herramientas relacionadas

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Calculadora del espacio columna (base de Col(A), rango, columnas pivote)Una base del espacio columna de cualquier matriz hasta 6×6, tomada de las columnas pivote ORIGINALES y no de las reducidas, con el rango, las columnas libres, la RREF completa y cada operación de fila.Calculadora del espacio nulo (base de Nul(A), nulidad, solución paramétrica)Resuelve Ax = 0 para cualquier matriz hasta 8×8: una base del núcleo en fracciones exactas y en enteros, las variables libres, la solución paramétrica, la comprobación del teorema del rango y A·v = 0 verificado exactamente.Calculadora de matriz de adyacenciaConvierte cualquier grafo en su matriz de adyacencia. Pega una lista de aristas (A-B), una lista de adyacencia (A: B C D) o una matriz binaria — la herramienta detecta el formato, construye la matriz de adyacencia etiquetada y da la secuencia de grados, los grados de entrada/salida para grafos dirigidos, y el número de vértices y aristas.Calculadora del ángulo entre dos vectoresθ = arccos(a·b / (|a||b|)) en 2D o 3D, en grados y radianes, con el producto escalar, los dos módulos, las proyecciones y el veredicto paralelos / perpendiculares / agudo / obtuso.Calculadora de descomposición de CholeskyFactoriza una matriz simétrica definida positiva A en L·Lᵀ, donde L es triangular inferior — la descomposición de Cholesky. Introduce A en una cuadrícula cuadrada editable y devuelve L, Lᵀ y el producto L·Lᵀ; si la matriz no es simétrica o no es definida positiva, indica qué condición falló. Dos veces más rápida que LU, Cholesky se usa en optimización, filtros de Kalman y simulación Monte-Carlo.Calculadora de la regla de CramerResuelve un sistema 2×2 o 3×3 con fracciones exactas, desarrolla cada determinante término a término y, cuando D = 0, separa los dos casos que casi todas las calculadoras confunden: sistema dependiente con infinitas soluciones, o incompatible sin ninguna.Calculadora de producto vectoriala × b en 3D con el desarrollo del determinante, el módulo |a||b|sin θ, las áreas del paralelogramo y del triángulo, la normal unitaria y la regla de la mano derecha.Calculadora de producto escalara·b de 2 a 10 dimensiones con la suma término a término, los dos módulos en radicales exactos, el ángulo en grados y radianes, las proyecciones y una figura. El paralelismo y la ortogonalidad se deciden en fracciones exactas: (1,1,1)·(2,2,2) da 0°, no NaN.

Abre Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal) y obtienes una respuesta al momento, sin crear ninguna cuenta. Su sitio está en Matrices y vectores; Calculadora del espacio columna (base de Col(A), rango, columnas pivote) y Calculadora del espacio nulo (base de Nul(A), nulidad, solución paramétrica) responden a las preguntas más cercanas.

Cómo usarlo

Abre la herramienta — sin registro ni instalación.
Introduce tus datos o ajusta las opciones disponibles.
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Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal)?

¿Cómo es un caso concreto?

(1, 1), (1, 0) → (1, 1)/√2, (1, −1)/√2 — la herramienta muestra cada paso intermedio, no solo la cifra final.

¿En qué casos se usa realmente?

Comprobar una descomposición hecha a mano, resolver un sistema lineal y hallar los autovalores que describen cómo una transformación estira el espacio.

¿Cuál es el error más frecuente?

Invertir una matriz para resolver un sistema. La eliminación o una factorización es más rápida y mucho más estable numéricamente; una inversa explícita amplifica el error de redondeo, sobre todo cerca de la singularidad.

¿En qué se diferencia Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal) de Calculadora del espacio columna (base de Col(A), rango, columnas pivote)?

Están próximos pero responden a preguntas distintas. Calculadora del espacio columna (base de Col(A), rango, columnas pivote): una base del espacio columna de cualquier matriz hasta 6×6, tomada de las columnas pivote ORIGINALES y no de las reducidas, con el rango, las columnas libres, la RREF completa y cada operación de fila. Elige el que encaje con tu punto de partida — ambos son gratis.

¿Hay una herramienta para el siguiente paso?

Calculadora del espacio nulo (base de Nul(A), nulidad, solución paramétrica) es el más cercano después de este: Resuelve Ax = 0 para cualquier matriz hasta 8×8: una base del núcleo en fracciones exactas y en enteros, las variables libres, la solución paramétrica, la comprobación del teorema del rango y A·v = 0 verificado exactamente.

¿De dónde salen los datos?

Las descomposiciones siguen sus definiciones de manual, con pivoteo parcial donde procede. Los resultados son exactos para matrices enteras pequeñas y quedan sujetos al redondeo en coma flotante en los demás casos.

Para saber más

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ExplicaciónEl principio del palomar demuestra que algo existe sin encontrarloDiez objetos en tres cajones fuerzan cuatro en uno de ellos. 367 personas fuerzan un cumpleaños compartido. Ninguna de las dos afirmaciones dice cuál ni quiénes.ExplicaciónUn cono es exactamente un tercio de su cilindroRadio 5, altura 10: el cono contiene 261,8 y el cilindro que lo rodea 785,4. La razón es exactamente un tercio, y vale para cualquier forma de base.ExplicaciónUna fórmula que es también un rectángulo y también un triánguloLados paralelos de 8 y 5 con una altura de 4 dan un área de 26 — el ancho medio por la altura. Haz iguales los dos lados y es un rectángulo; reduce uno a cero y es un triángulo.ExplicaciónEl doble de ancho contiene cuatro veces más; el doble de alto, el dobleUn cilindro de radio 5 y altura 10 contiene 785,4 unidades de volumen. Dobla el radio y contiene 3.141,6; dobla en cambio la altura y contiene 1.570,8.ExplicaciónCuarenta a la ida y sesenta a la vuelta promedian cuarenta y ochoLa media armónica de 40 y 60 es 48, no 50, porque el tramo más lento dura más y por tanto cuenta más. Para 1, 2 y 4 vale 1,714 frente a una media aritmética de 2,33.ExplicaciónSi la varianza no es la media, no es una PoissonCon una media de cinco sucesos por intervalo, ocurren exactamente tres el 14,0 % de las veces, ninguno el 0,7 %, y diez o más el 3,2 % — una vez cada 31 intervalos aproximadamente. La distribución tiene un solo parámetro, y fija a la vez la media y la varianza.