Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée)

Transforme un ensemble de vecteurs en une base orthonormée avec le procédé de Gram-Schmidt : chaque vecteur est rendu orthogonal aux précédents puis normalisé à une longueur unitaire. Saisis un vecteur par ligne sur une grille éditable et l'outil rend la base orthonormée, en écartant les vecteurs linéairement dépendants. Les bases orthonormées fondent la factorisation QR, l'analyse de Fourier et les projections.

L'outil interactif a besoin de JavaScript pour fonctionner. Tout le reste de cette page — son fonctionnement, un exemple chiffré et les réponses aux questions courantes — se trouve plus bas et n'a besoin de rien.

Outils similaires

Tous les outils : Matrices & vecteurs →

Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots)Une base de l'espace des colonnes d'une matrice jusqu'à 6×6, prise sur les colonnes pivots ORIGINALES et non sur celles de la réduite — avec le rang, les colonnes libres, la RREF complète et chaque opération sur les lignes.Calculateur de noyau (base de Nul(A), nullité, solution paramétrique)Résous Ax = 0 pour une matrice jusqu'à 8×8 : une base du noyau en fractions exactes et en entiers, les variables libres, la solution paramétrique, le théorème du rang vérifié et A·v = 0 contrôlé exactement.Calculateur de matrice d'adjacenceTransforme n'importe quel graphe en sa matrice d'adjacence. Colle une liste d'arêtes (A-B), une liste d'adjacence (A: B C D) ou une matrice binaire — l'outil détecte le format, construit la matrice d'adjacence étiquetée et donne la suite des degrés, les degrés entrants/sortants pour les graphes orientés, ainsi que le nombre de sommets et d'arêtes.Calculateur d’angle entre deux vecteursθ = arccos(a·b / (|a||b|)) en 2D ou 3D, en degrés et en radians, avec le produit scalaire, les deux normes, les projections et le verdict colinéaires / orthogonaux / aigu / obtus.Calculateur de décomposition de CholeskyFactorise une matrice symétrique définie positive A en L·Lᵀ, où L est triangulaire inférieure — la décomposition de Cholesky. Saisis A sur une grille carrée éditable et l'outil rend L, Lᵀ et le produit L·Lᵀ ; si la matrice n'est pas symétrique ou pas définie positive, il indique quelle condition a échoué. Deux fois plus rapide que LU, Cholesky sert en optimisation, filtres de Kalman et simulations Monte-Carlo.Calculateur de la règle de CramerRésout un système 2×2 ou 3×3 en fractions exactes, développe chaque déterminant terme à terme et, quand D = 0, sépare les deux cas que la plupart des calculateurs confondent : système dépendant à une infinité de solutions, ou système incompatible sans solution.Calculateur de produit vectoriela × b en 3D avec le développement du déterminant, la norme |a||b|sin θ, les aires du parallélogramme et du triangle, la normale unitaire et la règle de la main droite.Calculateur de produit scalairea·b de 2 à 10 dimensions avec la somme terme à terme, les deux normes en radicaux exacts, l'angle en degrés et en radians, les projections et une figure. La colinéarité et l'orthogonalité sont tranchées en fractions exactes : (1,1,1)·(2,2,2) donne 0°, pas NaN.

Ouvre Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée) et tu obtiens une réponse immédiatement, sans compte à créer. Il couvre chaque vecteur est rendu orthogonal aux précédents puis normalisé à une longueur unitaire. Saisis un vecteur par ligne sur une grille éditable et l'outil rend la base orthonormée, en écartant les vecteurs linéairement dépendants. Les bases orthonormées fondent la factorisation QR, l'analyse de Fourier et les projections — ajustez l'un d'eux et le résultat suit immédiatement.

Comment l'utiliser

Ouvre l'outil — sans inscription ni installation.
Saisis tes données ou ajuste les options disponibles.
Obtiens ton résultat instantanément, puis copie-le ou télécharge-le.

Questions fréquentes

À quoi sert Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée) ?

À quoi ressemble un cas concret ?

(1, 1), (1, 0) → (1, 1)/√2, (1, −1)/√2 — l'outil affiche chaque étape intermédiaire, pas seulement le résultat final.

Que prend-il en compte ?

Il tient compte de chaque vecteur est rendu orthogonal aux précédents puis normalisé à une longueur unitaire. Saisis un vecteur par ligne sur une grille éditable et l'outil rend la base orthonormée, en écartant les vecteurs linéairement dépendants. Les bases orthonormées fondent la factorisation QR, l'analyse de Fourier et les projections. Modifie l'un d'eux et le résultat suit immédiatement.

Dans quels cas s'en sert-on concrètement ?

Vérifier une décomposition faite à la main, résoudre un système linéaire, et trouver les valeurs propres qui décrivent comment une transformation étire l'espace.

Quelle est l'erreur la plus fréquente ?

Inverser une matrice pour résoudre un système. L'élimination ou une factorisation est plus rapide et bien plus stable numériquement ; une inverse explicite amplifie l'erreur d'arrondi, surtout près de la singularité.

En quoi Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée) diffère-t-il de Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots) ?

Ils se ressemblent mais répondent à des questions différentes : Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots) est celui à ouvrir lorsqu'il s'agit de une base de l'espace des colonnes d'une matrice jusqu'à 6×6, prise sur les colonnes pivots ORIGINALES et non sur celles de la réduite — avec le rang, les colonnes libres, la RREF complète et chaque opération sur les lignes. Choisis celui qui correspond à ton point de départ — les deux sont gratuits.

Existe-t-il un outil pour l'étape suivante ?

Calculateur de noyau (base de Nul(A), nullité, solution paramétrique) est le plus proche après celui-ci : Résous Ax = 0 pour une matrice jusqu'à 8×8 : une base du noyau en fractions exactes et en entiers, les variables libres, la solution paramétrique, le théorème du rang vérifié et A·v = 0 contrôlé exactement.

D'où viennent les données ?

Les décompositions suivent leurs définitions classiques, avec pivotage partiel là où il s'applique. Les résultats sont exacts pour de petites matrices entières, soumis à l'arrondi flottant sinon.

Pour aller plus loin

Tous les guides →

ExplicationLe patron à plat d'un cône est un secteur, pas un disqueRoule un cône de 50 mm de rayon et 80 mm de haut : son patron est une part de 190,8° dans un disque de 94 mm. Déroule un abat-jour presque cylindrique et le rayon du patron atteint 839 mm — plus la conicité est faible, plus l'apex s'éloigne.ExplicationUn taux de drop de 1 % ne veut pas dire cent runsÀ 1 %, cent tentatives donnent 63,4 % — pas la certitude. Quatre-vingt-dix pour cent demandent 230 tentatives et quatre-vingt-dix-neuf en demandent 459, et plus d'un tiers des joueurs sont encore bredouilles à cent.ExplicationLa suite de Fibonacci et le nombre d'orLa suite de Fibonacci additionne chaque paire de termes pour former le suivant ; le rapport de termes voisins tend vers le nombre d'or φ ≈ 1,618. Vois comment, et où ce motif apparaît.ExplicationQu'est-ce qu'un score Z ? Des écarts-types au-dessus de la moyenneUn score Z vaut z = (x − μ) / σ — le nombre d'écarts-types entre une valeur et la moyenne. Apprends à le calculer, à lire la loi normale centrée réduite et à le convertir en percentile.TutorielComment trouver la distance entre deux pointsUtilise la formule de distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) pour mesurer la distance en ligne droite entre deux points du plan, avec un exemple résolu et le milieu.TutorielComment calculer la pente d'une droite : la montée sur la courseTrouve la pente d'une droite à partir de deux points avec m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), et lis ce que dit une pente positive, négative, nulle ou indéfinie.