Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée)

Transforme un ensemble de vecteurs en une base orthonormée avec le procédé de Gram-Schmidt : chaque vecteur est rendu orthogonal aux précédents puis normalisé à une longueur unitaire. Saisis un vecteur par ligne sur une grille éditable et l'outil rend la base orthonormée, en écartant les vecteurs linéairement dépendants. Les bases orthonormées fondent la factorisation QR, l'analyse de Fourier et les projections.

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Outils similaires

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Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots)Une base de l'espace des colonnes d'une matrice jusqu'à 6×6, prise sur les colonnes pivots ORIGINALES et non sur celles de la réduite — avec le rang, les colonnes libres, la RREF complète et chaque opération sur les lignes.Calculateur de noyau (base de Nul(A), nullité, solution paramétrique)Résous Ax = 0 pour une matrice jusqu'à 8×8 : une base du noyau en fractions exactes et en entiers, les variables libres, la solution paramétrique, le théorème du rang vérifié et A·v = 0 contrôlé exactement.Calculateur de matrice d'adjacenceTransforme n'importe quel graphe en sa matrice d'adjacence. Colle une liste d'arêtes (A-B), une liste d'adjacence (A: B C D) ou une matrice binaire — l'outil détecte le format, construit la matrice d'adjacence étiquetée et donne la suite des degrés, les degrés entrants/sortants pour les graphes orientés, ainsi que le nombre de sommets et d'arêtes.Calculateur d’angle entre deux vecteursθ = arccos(a·b / (|a||b|)) en 2D ou 3D, en degrés et en radians, avec le produit scalaire, les deux normes, les projections et le verdict colinéaires / orthogonaux / aigu / obtus.Calculateur de décomposition de CholeskyFactorise une matrice symétrique définie positive A en L·Lᵀ, où L est triangulaire inférieure — la décomposition de Cholesky. Saisis A sur une grille carrée éditable et l'outil rend L, Lᵀ et le produit L·Lᵀ ; si la matrice n'est pas symétrique ou pas définie positive, il indique quelle condition a échoué. Deux fois plus rapide que LU, Cholesky sert en optimisation, filtres de Kalman et simulations Monte-Carlo.Calculateur de la règle de CramerRésout un système 2×2 ou 3×3 en fractions exactes, développe chaque déterminant terme à terme et, quand D = 0, sépare les deux cas que la plupart des calculateurs confondent : système dépendant à une infinité de solutions, ou système incompatible sans solution.Calculateur de produit vectoriela × b en 3D avec le développement du déterminant, la norme |a||b|sin θ, les aires du parallélogramme et du triangle, la normale unitaire et la règle de la main droite.Calculateur de produit scalairea·b de 2 à 10 dimensions avec la somme terme à terme, les deux normes en radicaux exacts, l'angle en degrés et en radians, les projections et une figure. La colinéarité et l'orthogonalité sont tranchées en fractions exactes : (1,1,1)·(2,2,2) donne 0°, pas NaN.

Ouvre Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée) et tu obtiens une réponse immédiatement, sans compte à créer. Sa place est sous Matrices & vecteurs ; Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots) et Calculateur de noyau (base de Nul(A), nullité, solution paramétrique) répondent aux questions les plus proches.

Comment l'utiliser

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Questions fréquentes

À quoi sert Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée) ?

À quoi ressemble un cas concret ?

(1, 1), (1, 0) → (1, 1)/√2, (1, −1)/√2 — l'outil affiche chaque étape intermédiaire, pas seulement le résultat final.

Dans quels cas s'en sert-on concrètement ?

Vérifier une décomposition faite à la main, résoudre un système linéaire, et trouver les valeurs propres qui décrivent comment une transformation étire l'espace.

Quelle est l'erreur la plus fréquente ?

Inverser une matrice pour résoudre un système. L'élimination ou une factorisation est plus rapide et bien plus stable numériquement ; une inverse explicite amplifie l'erreur d'arrondi, surtout près de la singularité.

En quoi Calculateur de Gram-Schmidt (base orthonormée) diffère-t-il de Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots) ?

Ils se ressemblent mais répondent à des questions différentes. Calculateur d'espace des colonnes (base de Col(A), rang, colonnes pivots) : une base de l'espace des colonnes d'une matrice jusqu'à 6×6, prise sur les colonnes pivots ORIGINALES et non sur celles de la réduite — avec le rang, les colonnes libres, la RREF complète et chaque opération sur les lignes. Choisis celui qui correspond à ton point de départ — les deux sont gratuits.

Existe-t-il un outil pour l'étape suivante ?

Calculateur de noyau (base de Nul(A), nullité, solution paramétrique) est le plus proche après celui-ci : Résous Ax = 0 pour une matrice jusqu'à 8×8 : une base du noyau en fractions exactes et en entiers, les variables libres, la solution paramétrique, le théorème du rang vérifié et A·v = 0 contrôlé exactement.

D'où viennent les données ?

Les décompositions suivent leurs définitions classiques, avec pivotage partiel là où il s'applique. Les résultats sont exacts pour de petites matrices entières, soumis à l'arrondi flottant sinon.

Pour aller plus loin

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ExplicationLes diagonales d'un polygone sont un maillage complet moins le périmètreUn hexagone a 9 diagonales, un icosagone 170 et un polygone à cent côtés 4 850. Le même dénombrement donne le nombre de liens d'un maillage complet : 190 liens pour 20 nœuds, 4 950 pour 100.ExplicationUn bac de vingt gallons en contient seize en Grande-Bretagne60 × 30 × 40 cm font 72 litres — 19,0 gallons américains ou 15,8 gallons impériaux. Les deux gallons diffèrent de 20 %, et s'arrêter 5 cm sous le bord coûte 9 litres de plus.ExplicationUne ellipse a une aire simple et aucun périmètre simpleDes demi-axes de 5 et 3 donnent un périmètre de 25,5270, et la valeur exacte en diffère d'une part sur deux millions. La devinette évidente, π(a+b), est 1,5 % trop basse — et 15 % trop basse sur une ellipse longue et fine.ExplicationUne seule formule couvre la sphère, l'œuf et la planèteQuatre tiers π fois les trois demi-axes : 5, 3 et 4 donnent 251,33, et poser les trois égaux redonne la sphère. Le renflement équatorial coûte à la Terre 0,34 % du volume d'une sphère.ExplicationSoixante mètres de clôture enferment d'autant plus de terrain qu'ils sont rondsLes mêmes 60 m de clôture donnent 173 m² en triangle, 225 en carré, 260 en hexagone et 286 en cercle. La forme vaut 65 % de plus que le matériau.ExplicationLe dixième extérieur d'un disque en fait le cinquième de l'aireUn anneau du rayon 9 au rayon 10 couvre 59,7 unités carrées sur un disque de 314,2 — 19 %, pour un liseré large d'un dixième du rayon. Un tube de 60 mm à paroi de 3 mm obéit à la même arithmétique.