Capacidade do processo: Cp, Cpk e o que o Six Sigma afirma realmente

O Cp: a especificação face à dispersão

O Cp é um rácio de duas larguras. O numerador é a largura da especificação, LSE − LIE, o espaço que o desenho lhe dá. O denominador é 6σ, a largura que o processo ocupa — seis desvios-padrão, porque ±3σ cobre 99,73 % de uma distribuição normal e 6σ é o atalho convencional para «todo o processo». Logo Cp = (LSE − LIE) ÷ 6σ, e responde a uma só pergunta: este processo caberia dentro desta tolerância se estivesse perfeitamente apontado? Um Cp de 1,00 significa que o processo preenche exatamente a tolerância sem folga. Um Cp de 1,33 significa que a tolerância é um terço mais larga do que o processo precisa.

Façamos um. Um veio é especificado entre 9,80 e 10,20 milímetros — uma largura de tolerância de 0,40 — e o processo tem um desvio-padrão de 0,05 milímetros. Cp = 0,40 ÷ (6 × 0,05) = 0,40 ÷ 0,30 = 1,333. Repare bem no que não entrou nesse cálculo: a média. O Cp é cego quanto ao ponto para onde o processo aponta, e todas as consequências deste artigo decorrem dessa cegueira.

O Cpk: a penalização por estar descentrado

O Cpk repara essa cegueira medindo cada lado em separado e ficando com o pior. Cpk = mín[(LSE − μ) ÷ 3σ, (μ − LIE) ÷ 3σ]. O 3σ de cada denominador é metade do 6σ do Cp, porque cada termo mede agora um lado da distribuição e não o conjunto. Quando o processo está exatamente no ponto médio da tolerância, os dois termos são iguais e o Cpk vale o Cp. Qualquer deriva para fora do meio torna um termo menor, pelo que o Cpk é sempre menor ou igual ao Cp, e a diferença entre os dois mede puramente o descentramento.

Vale a pena manter o par junto porque respondem a duas perguntas de gestão diferentes. O Cp pergunta se a máquina e o método são sequer capazes — se a variação é suficientemente pequena para a peça. O Cpk pergunta se o processo está neste momento bem afinado. Um Cp baixo é um problema de engenharia: é preciso melhor máquina, melhor ferramenta ou um método mais apertado. Um Cp alto com um Cpk baixo é um problema de afinação: o equipamento consegue, basta alguém deslocar a mira, e isso costuma ser barato e rápido.

A mesma dispersão, 359 vezes mais sucata

Tome a mesma especificação e o mesmo σ = 0,05, logo o Cp é 1,333 nos dois casos, e faça passar duas médias. Centrado em 10,00, cada limite fica a (0,20 ÷ 0,05) = 4 desvios-padrão, logo Cpk = 4 ÷ 3 = 1,333, igual ao Cp. A fração fora de tolerância é Φ(−4) de cada lado, ou seja 31,671 por milhão por cauda e 63,34 por milhão no total — uma peça em 15 787.

Mova agora a média para 10,10, dois desvios-padrão acima, sem tocar na dispersão. O Cp continua 1,333 — o processo está exatamente tão apertado como estava. Mas o limite superior fica agora só a (10,20 − 10,10) ÷ 0,05 = 2 desvios-padrão enquanto o inferior está a 6, logo Cpk = mín(2 ÷ 3, 6 ÷ 3) = 0,667. A taxa de sucata é Φ(−2) acima do limite superior, 22 750,13 por milhão, mais um Φ(−6) = 0,000987 por milhão perfeitamente desprezável abaixo do inferior. Total: 22 750 defeitos por milhão, 2,275 %, uma peça em 44.

É essa toda a razão de existir dos dois índices. Dois processos com um Cp idêntico de 1,333 — máquinas idênticas, variação idêntica, capacidade idêntica no sentido da engenharia — produzem 63 defeitos por milhão e 22 750 defeitos por milhão, um fator de 359. Um relatório de capacidade que cite só o Cp nada lhe disse sobre sucata. Se só vai olhar para um número, olhe para o Cpk; se vai agir, olhe para os dois, porque apontam para correções diferentes.

3,4 por milhão, e a deriva de 1,5σ que o produz

«Seis sigma» como nível de qualidade significa que o limite de especificação mais próximo está a seis desvios-padrão da média, o que para um processo centrado é um Cp e um Cpk de 2,00. Calcule a taxa de defeito diretamente a partir da distribuição normal e obtém 2 × Φ(−6) = 0,00197 defeitos por milhão. Ou seja, cerca de duas peças por mil milhões. Não é 3,4, nem sequer perto de 3,4 — os dois números diferem por um fator de 1 722.

O 3,4 vem de uma hipótese acrescentada. A convenção diz que a média de um processo não fica quieta: ao longo de horas, turnos, mudanças de ferramenta e lotes de matéria-prima, ela deriva, e a tolerância aceite para essa deriva de longo prazo é de 1,5σ. Assuma a média a 1,5σ do alvo e o limite próximo fica só a 6 − 1,5 = 4,5 desvios-padrão. Calcule essa cauda: Φ(−4,5) = 3,398 por milhão. O limite afastado está agora a 7,5σ e contribui com 0,0000000319 por milhão, ou seja nada. Portanto o número é 3,398, citado como 3,4 defeitos por milhão de oportunidades. É aritmeticamente exato — dada a deriva.

A mesma convenção reescreve toda a tabela. A três sigma, a normal centrada dá 2 699,80 defeitos por milhão; com a deriva, 66 810,6, vinte e cinco vezes mais. A quatro sigma, 63,34 passa a 6 209,68. A cinco sigma, 0,573 passa a 232,6. A diferença cresce com o nível sigma porque se está a retirar um 1,5σ fixo de uma cauda cada vez mais íngreme. Por isso a deriva importa mais precisamente onde os argumentos comerciais são mais ruidosos.

De onde veio a deriva, e quão contestada é

A tolerância de 1,5σ não saiu da medição de nenhum processo concreto. Descende de trabalhos de tolerâncias estatísticas dos anos setenta — a regra empírica de Bender para acumular tolerâncias previa um fator pelo facto de as médias se deslocarem — e foi adotada na Motorola nos anos oitenta como correção padrão entre a capacidade de curto prazo, medida numa série de peças consecutivas, e o desempenho de longo prazo ao longo de semanas de produção. A intenção era razoável: um estudo de capacidade feito num turno, com um operador e uma barra de material, subestima realmente a variação que o cliente verá.

O que é contestado é a universalidade do número. Não há razão para um processo contínuo bem controlado derivar exatamente 1,5σ, nem para um processo por lotes mal controlado derivar apenas isso. As justificações estatísticas de 1,5 como valor geral — incluindo a mais conhecida, que a deduz da probabilidade de uma carta de controlo sobre subgrupos pequenos não detetar um desvio desse tamanho — são construções a posteriori, e a literatura da qualidade discute-as há décadas. Trate o 1,5σ pelo que é: uma convenção documentada que torna comparáveis os níveis sigma publicados, não uma propriedade empírica do seu processo.

A consequência prática é uma regra de rotulagem. Qualquer nível sigma ou número DPMO devia trazer a menção «com a deriva de 1,5σ» ou «sem», porque os dois diferem em três ordens de grandeza no extremo dos seis sigma. Nos próprios índices, é a mesma distinção que entre Cp e Cpk por um lado e Pp e Ppk por outro: o primeiro par usa por convenção uma estimativa de σ dentro do subgrupo e descreve a capacidade de curto prazo, o segundo usa o desvio-padrão total de todos os dados e descreve o desempenho efetivamente entregue.

Trinta peças não são um estudo de capacidade

Todos os números acima assumiam σ conhecido. Não é: é estimado a partir de uma amostra, e a estimativa é bem mais ruidosa do que se pensa. Como (n − 1)s² ÷ σ² segue uma distribuição qui-quadrado, um intervalo de confiança a 95 % para o Cp vai de Ĉp × √(χ²₀,₀₂₅,ₖ ÷ k) a Ĉp × √(χ²₀,₉₇₅,ₖ ÷ k) com k = n − 1 graus de liberdade. Com n = 30 esses multiplicadores são 0,7439 e 1,2556, pelo que um Cp medido de 1,333 dá um intervalo de 0,992 a 1,674.

Traduza os dois extremos em sucata e o problema torna-se visível. Um processo centrado com Cp = 0,992 produz 2 920,35 defeitos por milhão; com Cp = 1,674 produz 0,511. É a mesma medição a ser compatível com taxas de defeito separadas por um fator de 5 711. Aumentar a amostra ajuda, mas devagar: com n = 50 o intervalo vai de 1,070 a 1,596, com n = 100 de 1,148 a 1,519 — ainda um fator 110 na taxa de defeito — com n = 200 de 1,202 a 1,464 e com n = 500 de 1,251 a 1,416.

Portanto um índice de capacidade calculado sobre trinta peças deve ser reportado com o seu intervalo ou não ser reportado de todo, e o hábito de aceitar um processo com um único Ĉpk de 1,33 saído de uma tirada de trinta peças é uma prova mais fraca do que parece. Vale também recordar que uma tirada curta subestima a variação por uma segunda razão, distinta: trinta peças consecutivas partilham um operador, uma ferramenta, uma afinação e um lote de material, pelo que medem a variação dentro do subgrupo e nada dizem da variação entre subgrupos que o cliente vai encontrar.

Tudo isto pressupõe normalidade — logo teste-a

Converter um índice de capacidade numa taxa de defeito usa a distribuição normal, e cada número em ppm deste artigo — incluindo o famoso 3,4 — vale apenas o que valer esse pressuposto. O problema é que os índices de capacidade vivem nas caudas extremas, precisamente onde as distribuições mais diferem e onde há menos dados para as verificar.

Quantifique um desvio ligeiro. Tome uma distribuição t de Student reescalada para ter exatamente o mesmo desvio-padrão, logo o mesmo Cp, e calcule a cauda para lá de seis desvios-padrão. Com 30 graus de liberdade — um excesso de curtose de 0,2, mal detetável — a cauda vale 0,3875 por milhão contra os 0,000987 da normal, 393 vezes mais pesada. Com 10 graus de liberdade, 26,55 por milhão, 26 900 vezes mais pesada. Com 5 graus de liberdade, 286,6 por milhão, cerca de 290 000 vezes mais pesada. Uma distribuição que teria dificuldade em rejeitar com cem pontos destrói a estimativa que construiu sobre ela.

Faça portanto três coisas antes de publicar um número de capacidade. Confirme que o processo é estável, com uma carta de controlo, porque um índice calculado sobre um processo fora de controlo não descreve nada. Teste a distribuição em vez de a assumir, e se for genuinamente assimétrica — como costumam ser planeza, circularidade, concentricidade e qualquer característica limitada em zero — use os índices baseados em percentis definidos para dados não normais na série ISO 22514 em vez de forçar um ajuste normal. E reporte o Cpk com o seu intervalo de confiança e a sua dimensão de amostra, para que o leitor seguinte saiba quanto é medição e quanto é ruído.

Perguntas frequentes

O Cpk pode ser maior que o Cp?

Nunca. O Cpk retém a menor das duas distâncias a um limite e divide-a por 3σ, enquanto o Cp divide a meia-largura da especificação por 3σ. Quando o processo está exatamente centrado as duas distâncias são iguais e o Cpk vale o Cp; qualquer deriva torna uma delas menor. Logo Cpk ≤ Cp sempre, e se um relatório mostrar um Cpk acima do Cp, há um erro aritmético ou foram calculados sobre dados diferentes. A distância entre os dois é por si só uma medida limpa do descentramento.

Qual a diferença entre Cp/Cpk e Pp/Ppk?

As fórmulas são idênticas; a estimativa de σ não. O Cp e o Cpk usam por convenção uma estimativa dentro do subgrupo — a partir da amplitude média ou do desvio-padrão médio de pequenos subgrupos racionais — que só capta a variação presente em algumas peças consecutivas. O Pp e o Ppk usam o desvio-padrão global de todos os dados, que contém também a deriva entre subgrupos, as mudanças de ferramenta e os lotes de material. O Cp e o Cpk descrevem portanto a capacidade de curto prazo e o Pp e o Ppk o desempenho entregue, que é justamente a lacuna que a convenção da deriva de 1,5σ foi inventada para cobrir.

3,4 defeitos por milhão são realmente atingíveis?

É um alvo definido, não uma constante física, e ser atingível depende inteiramente da característica. O que esse número não consegue é ser verificado por medição na maioria das fábricas: demonstrar uma taxa de 3,4 por milhão com alguma confiança exige centenas de milhares de peças, pelo que na prática é sempre inferido de um índice de capacidade e nunca observado. Dados os intervalos de confiança do Cpk com dimensões de amostra realistas, essa inferência carrega muito mais incerteza do que um número com duas casas decimais sugere.

Quantas peças são precisas para um estudo de capacidade?

Mais do que as trinta que a convenção sugere, e a maneira certa de escolher é decidir com que largura de intervalo consegue viver. Com n = 30 um Cp medido de 1,333 traz um intervalo a 95 % de 0,992 a 1,674; com n = 100 estreita para 1,148-1,519; com n = 200 para 1,202-1,464. A precisão melhora aproximadamente com a raiz quadrada da amostra, pelo que reduzir o intervalo a metade custa quatro vezes as peças. Igualmente importante é espalhar a amostra por turnos, operadores, mudanças de ferramenta e lotes de material, porque uma amostra grande recolhida numa só tirada mede a variação errada com grande precisão.

E se os meus dados não forem normais?

Então não converta o índice em taxa de defeito usando a distribuição normal, porque o erro cai inteiro na cauda que lhe interessa. As características limitadas em zero — planeza, circularidade, batimento, rugosidade, contagens de contaminação — são normalmente assimétricas por construção e nunca devem ser forçadas a um ajuste normal. A série ISO 22514 define índices de capacidade baseados em percentis precisamente para este caso, usando os quantis de 0,135 % e 99,865 % da distribuição realmente ajustada em vez de μ ± 3σ. As alternativas são transformar os dados ou ajustar uma distribuição que lhes sirva; o que não deve fazer é reportar um Cpk que assumiu a normalidade em silêncio.