A fórmula de raiz quadrada da quantidade económica de encomenda, e onde deixa de ser verdadeira

Porque a resposta é uma raiz quadrada

Dois custos movem-se em sentidos opostos quando muda o tamanho de uma encomenda. O custo de encomenda é o trabalho fixo de emitir a ordem, receber e pagar a fatura, e suporta-o D/Q vezes por ano — logo cai quando a encomenda cresce. O custo de posse é capital, espaço, seguro e obsolescência sobre o stock médio detido, que é Q/2 — logo sobe quando a encomenda cresce. Escreva a soma, D/Q × S + Q/2 × H, derive, iguale a zero: os dois termos ficam iguais no ótimo. Resolva essa igualdade e sai a raiz quadrada: Q* = √(2DS/H).

Essa igualdade vale a pena recordar como verificação. A 25 000 unidades por ano, 80 € por encomenda e 4 € por unidade-ano de posse, a fórmula dá 1 000 unidades. Vinte e cinco encomendas por ano a 80 € são 2 000 € de custo de encomenda; um stock médio de 500 unidades a 4 € são 2 000 € de posse. Coincidem, como devem. O total, 4 000 €, lê-se também diretamente como √(2DSH) — os mesmos números reorganizados. Se a sua folha de cálculo produz uma QEE em que as duas linhas de custo não são iguais, o que está errado é a aritmética, não a teoria.

O fundo plano é a notícia honesta

Divida o custo a qualquer quantidade pelo custo no ótimo e quase tudo se cancela. Resta ½(Q/Q* + Q*/Q) — um quociente que só depende do quanto se desvia, não da procura, nem de S, nem de H. Encomende 20 % a mais e paga mais 1,7 %. Encomende 20 % a menos e paga mais 2,5 %. Encomende 50 % a mais e paga mais 8,3 %. É preciso ir até ao dobro ou a metade do ótimo para a fatura subir 25 %. Perto do fundo, a curva é quase uma horizontal.

Isto é a coisa mais prática que a QEE diz, e costuma ficar enterrada. A fórmula raramente produz um número utilizável num armazém: 1 000 unidades podem ser 41 caixas ou dois terços de palete. A planura diz: arredonde. Passar à palete completa com 1 200 unidades custa 67 € por ano sobre uma base de 4 000 €. Passar ao camião com 1 500 custa 333 €. Face às poupanças de manuseamento, danos e administração de expedir unidades de embalagem inteiras, ambos costumam ser bons negócios. A QEE não é a ordem de encomendar exatamente 1 000; é a afirmação de que qualquer valor entre cerca de 800 e 1 250 está a menos de 2,5 % do melhor possível.

Ainda bem, porque S e H são os números mais difíceis de todos

A procura anual tira-a do sistema de vendas. As outras duas tem de as construir. S deveria ser o custo incremental de colocar mais uma encomenda — mas a maior parte do que custa um departamento de compras é salário que não muda quer emita 25 encomendas quer 30. Divida o orçamento do departamento pelo número de encomendas e obtém uma média, não um custo marginal, e essa média é quase sempre demasiado alta. H é pior: custo de capital, armazenagem, seguro, quebras, obsolescência. Só a componente de capital obriga-o a escolher uma taxa de desconto, e a de obsolescência é uma aposta sobre o futuro.

A planura salva-o. Como Q* é proporcional a √(S/H), só o quociente conta, e um erro nesse quociente é dividido a meio pela raiz quadrada antes de chegar à quantidade. Erre por um fator dois em S/H, em qualquer direção, e a quantidade recomendada move-se 41 % — o que, pela tabela acima, custa 6,1 %. Erre por um fator quatro e a quantidade duplica ou reduz-se a metade, por 25 %. Tudo o que fique aquém de um erro de fator quatro nos seus pressupostos de custo é uma diferença de arredondamento. Ponha o esforço no número da procura e nas restrições; são esses que realmente movem a resposta.

Rutura um: os descontos de quantidade

A fórmula nunca vê o preço da mercadoria, porque a preço unitário constante o custo de compra vale D × C independentemente de como divide as encomendas — é o mesmo em todos os cenários e desaparece da comparação. Um desconto de quantidade destrói isso. Suponha um custo unitário de 20 €, um custo de posse fixado em 20 % do valor (o que dá exatamente os 4 € usados acima), e um fornecedor que oferece 2 % de desconto a partir de 2 500 unidades. O desconto vale 2 % de 500 000 €, ou seja 10 000 € por ano. Não é um número pequeno ao lado de um total de 4 000 € de encomenda e posse.

Faça a conta toda. Comprar de 2 500 em 2 500 são 10 encomendas por ano, 800 € de custo de encomenda. O custo unitário com desconto é 19,60 €, por isso a posse a 20 % do valor passa a 3,92 € por unidade-ano, e um stock médio de 1 250 unidades custa 4 900 €. Encomenda mais posse sobe de 4 000 € para 5 700 € — um aumento de 1 700 € — enquanto a fatura de compra cai de 500 000 € para 490 000 €. Tudo incluído: 504 000 € contra 495 700 €, uma poupança líquida de 8 300 € por ano. A resposta da QEE é largamente batida pela tabela de preços de um fornecedor, e é por isso que qualquer avaliação séria de um desconto calcula o custo total em cada escalão de preço e não no ótimo sem restrições.

Rutura dois: procura irregular e reabastecimento a ritmo finito

A QEE assume que a procura chega a um ritmo suave e constante. Pegue nas mesmas 25 000 unidades por ano mas concentre 15 000 em dois meses. Durante o pico o ritmo anualizado é de 90 000 unidades, e a quantidade correta aí é √(2 × 90 000 × 80 / 4) = 1 897. Para as 10 000 restantes distribuídas por dez meses o ritmo anualizado é 12 000 e a quantidade correta 693. Faça correr a QEE anual de 1 000 durante o pico e a fórmula do quociente cobra-lhe 21,2 % sobre o que custaria uma quantidade sazonal. Qualquer produto com sazonalidade real exige recalcular a sua QEE por época, ou um método de lotes dinâmico — Wagner-Whitin é o exato, Silver-Meal a aproximação praticável.

O segundo pressuposto estrutural é que toda a encomenda chega de uma vez. Quando fabrica em vez de comprar, o stock sobe enquanto a produção corre e desce quando para, logo o stock médio é inferior a Q/2 e pode permitir-se séries mais longas. A quantidade económica de produção corrige isso: √(2DS / (H(1 − D/P))). A um ritmo de produção de 50 000 unidades por ano contra uma procura de 25 000, o fator (1 − D/P) vale 0,5, a série ótima sobe para 1 414 unidades, o stock de pico é de apenas 707, e o custo mínimo real cai para 2 828 €. Aplique a QEE de compra de 1 000 nesse contexto e paga 3 000 € — 6,1 % a mais, e ainda subdimensiona cada série de produção.

Para que serve ainda a QEE

Trate-a como uma verificação de escala, não como uma instrução. Diz-lhe se a encomenda certa é da ordem das cem unidades ou das dez mil, e essa é precisamente a pergunta que a maioria falha — normalmente encomendando demasiadas vezes artigos baratos e volumosos, e demasiado poucas vezes artigos caros e compactos. Depois de a QEE fixar a ordem de grandeza, mandam as restrições: quantidades por palete, valores mínimos de encomenda, enchimento de contentor, prazo de validade, escalões de preço do fornecedor e capacidade de localização no armazém. Como a curva é plana, deixar essas restrições ganharem não custa quase nada.

E mantenha-a na sua faixa. A QEE responde a quanto encomendar; nada diz sobre quando. Isso é o ponto de encomenda, que depende do prazo de entrega e da variabilidade da procura durante esse prazo, e é aí que vive o stock de segurança. As duas perguntas são independentes no modelo clássico e costuma convir mantê-las independentes na prática: dimensione a encomenda com a QEE e as restrições, e dispare-a com um ponto de encomenda que reflita o nível de serviço prometido.

Perguntas frequentes

Quanto pode a minha quantidade de encomenda desviar-se antes de custar dinheiro a sério?

Use ½(Q/Q* + Q*/Q). A 20 % do ótimo em qualquer direção a penalização é inferior a 2,5 %; a 50 % a mais é de 8,3 %; é preciso duplicar ou reduzir a metade a quantidade para chegar a 25 %. No exemplo trabalhado isso significa que qualquer valor entre cerca de 800 e 1 250 unidades não custa mais de 100 € por ano acima dos 4 000 € ótimos. Arredonde ao que pedir a sua embalagem, a sua palete ou o seu camião.

O que devo realmente colocar como custo de encomenda S?

Apenas custos que mudam mesmo quando coloca mais uma encomenda: o frete de entrada faturado por expedição, a mão de obra de receção e a inspeção, e qualquer taxa de fornecedor ou aduaneira por encomenda. Deixe de fora o salário do comprador, a licença do ERP e os custos de estrutura do departamento — existem quer encomende 25 quer 30 vezes. Dividir o custo total de compras pelo número de encomendas dá uma média que sobrestima S e enviesa as encomendas para cima. Como a curva é plana, mesmo um erro de fator dois custa só 6,1 %: não se atormente, basta ser coerente entre S e H.

A QEE diz-me quando voltar a encomendar?

Não. A QEE responde a quanto; o ponto de encomenda responde a quando. O ponto de encomenda é a procura média durante o prazo de entrega mais o stock de segurança, e este depende da variabilidade da procura e do prazo, e do nível de serviço escolhido. No modelo clássico as duas decisões não interagem, por isso pode dimensionar a encomenda com a QEE e definir o gatilho à parte sem que um estrague o outro.

Um fornecedor oferece um desconto acima da minha QEE. Como decido?

Calcule o custo anual completo — compras mais encomenda mais posse — na sua QEE e de novo em cada escalão de preço, e compare os totais. Lembre-se de recalcular o custo de posse sobre o valor com desconto se o exprimir em percentagem. No exemplo acima, um desconto de 2 % a 2 500 unidades sobe encomenda mais posse em 1 700 € mas corta a fatura de compra em 10 000 €, por isso o desconto ganha por 8 300 € por ano. Os descontos costumam ganhar, porque a fatura de compra é uma ordem de grandeza maior do que os custos que a QEE otimiza.

A QEE continua relevante com abastecimento just-in-time?

Sim, mas aponta no sentido contrário ao que se pensa. O just-in-time não é uma rejeição da QEE; é um ataque a S. Reduza a metade o custo de colocar uma encomenda — encomenda eletrónica, contratos-quadro, mudanças de série mais rápidas — e a quantidade ótima cai 29 %, e o custo relevante total cai com ela, porque o ótimo vale √(2DSH). As entregas pequenas e frequentes só são económicas depois de esmagado o custo fixo de uma entrega. A QEE é precisamente a fórmula que quantifica quanto vale essa redução.