Analysis
Ableitungen, Integrale, Grenzwerte und Reihen — symbolisch, wo möglich, sonst numerisch. 41 Werkzeuge, darunter Antilogarithmus-Rechner (Umkehrlogarithmus), Bogenlängen-Rechner, Rechner für mittlere Änderungsrate und Bernoulli-Differentialgleichungslöser. Alle kostenlos, ohne Konto und ohne Installation.
Antilogarithmus-Rechner (Umkehrlogarithmus)Der Antilogarithmus macht den Logarithmus rückgängig: antilog_b(y) = bʸ, also log_b(bʸ) = y. Wähle Basis 10, e, 2 oder eine eigene, gib den Exponenten ein, und das Ergebnis kommt mit ausgeschriebener Umkehrbeziehung und geprüftem Hin- und Rückweg zurück. Basen kleiner oder gleich null sowie Basis 1 werden mit Begründung abgelehnt.Bogenlängen-RechnerDie Länge eines Kreisbogens aus Radius und Mittelpunktswinkel — Bogen = r·θ, mit θ im Bogenmaß. In beide Richtungen: Bogen aus Radius und Winkel, Radius aus Bogen und Winkel, oder Winkel aus Bogen und Radius. Es liefert auch die Sektorfläche und die Sehnenlänge.Rechner für mittlere ÄnderungsrateBerechne die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall: [f(b) − f(a)] / (b − a), die Steigung der Sekante zwischen (a, f(a)) und (b, f(b)). Tippe eine beliebige Funktion von x, setze die Endpunkte a und b und sieh f(a), f(b) und die mittlere Rate sofort.Bernoulli-DifferentialgleichungslöserLöst y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ, indem die Substitution v = y^(1−n) gezeigt wird, die sie in eine lineare Gleichung überführt, und anschließend integriert wird. Die beiden entarteten Fälle werden eigens behandelt: n = 0 ist bereits linear, n = 1 ist separabel.FaltungsrechnerLineare und zyklische diskrete Faltung mit Term für Term ausgeschriebenem Verschieben und Summieren, dazu eine symbolische kontinuierliche Faltung, exakt über den Laplace-Faltungssatz gelöst.Rotation-Rechner (Curl)Berechne die Rotation eines Vektorfelds: die skalare Rotation ∂Q/∂x − ∂P/∂y in 2D oder die volle vektorielle Rotation ∇×F = ⟨R_y − Q_z, P_z − R_x, Q_x − P_y⟩ in 3D. Gib jede Komponente in x, y, z ein und erhalte jede partielle Ableitung symbolisch sowie die an einem optionalen Punkt ausgewertete Rotation.KrümmungsrechnerFür eine Kurve y = f(x) misst die Krümmung κ = |f″| / (1 + f′²)^(3/2), wie stark sie sich in einem Punkt biegt, und der Krümmungsradius ist ihr Kehrwert. Gib eine Funktion und einen Punkt ein; die Ableitungen werden symbolisch gebildet und ausgewertet.AbleitungsrechnerBerechne einfache, partielle, implizite und Richtungsableitungen symbolisch.Richtungsfeld-Zeichner (Steigungsfeld)Zeichnet f(x, y) als Gitter tangentialer Striche, sodass die Gestalt aller Lösungen sichtbar wird, bevor eine einzige berechnet ist. Füge Anfangsbedingungen hinzu, und jede erzeugt eine RK4-Kurve, die tangential zum Feld bleibt.Richtungsableitung-RechnerBerechne die Richtungsableitung Dûf = ∇f · û an einem Punkt entlang einer Richtung.Divergenz-RechnerBerechne die Divergenz ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y (+ ∂R/∂z) eines 2D- oder 3D-Vektorfelds. Gib jede Komponente als Ausdruck in x, y, z ein — das Tool zeigt jede partielle Ableitung symbolisch, die Divergenz in geschlossener Form und ihren Zahlenwert an einem optionalen Auswertungspunkt.Doppelintegral-RechnerBerechne numerisch ein Doppelintegral ∬ f(x,y) über einen Rechteckbereich.Euler-Verfahren-RechnerFührt das Euler-Verfahren Zeile für Zeile vor und zeigt — genau darin liegt der Sinn des Verfahrens — wie weit es von der exakten Lösung abdriftet. Gib das exakte y(x) an, und die Fehlerspalte erscheint; halbiere die Schrittweite, und der Fehler halbiert sich mit.Rechner für das IntegralexponentialBerechne das Integralexponential Ei(x) für jedes reelle x ≠ 0 mit gewählter Genauigkeit, über die konvergente Reihe γ + ln|x| + Σ xᵏ/(k·k!) oder die asymptotische Reihe für große Argumente.FFT-Rechner (schnelle Fourier-Transformation)Radix-2-FFT nach Cooley–Tukey für reelle oder komplexe Abtastwerte (3+4i, −2i): Betrag, Phase, Frequenzlinien und Balkendiagramm, mit Hann-, Hamming- und Blackman-Fenstern samt Korrektur des kohärenten Gewinns und korrekt verdoppelten einseitigen Linien außer Gleichanteil und Nyquist.Löser für Differentialgleichungen erster OrdnungLöst dy/dx = f(x, y) ab einer Anfangsbedingung mit RK4, integriert in beide Richtungen und zeichnet die Lösungskurve. Wachstum, Zerfall, Newtonsche Abkühlung, Logistik und separable Fälle sind als Beispiele hinterlegt.Rechner für Fourier-Reihen-Koeffizientena₀, aₙ und bₙ über eine beliebige Periode, exakt per partieller Integration bei polynomialem f und sonst per Gauß–Legendre-Quadratur, mit der abgeschnittenen Reihe im Vergleich zu f, sodass das Gibbssche Überschwingen sichtbar wird.Gradient-Rechner (mehrere Variablen)Berechne den Gradienten ∇f = ⟨∂f/∂x, ∂f/∂y, …⟩ einer skalaren Funktion mehrerer Variablen. Nenne deine Variablen, und das Tool liefert jede partielle Ableitung symbolisch, den Gradientenvektor in geschlossener Form und ∇f an einem optionalen Punkt — die Richtung des steilsten Anstiegs.Implizite-Ableitung-RechnerLeite eine Gleichung F(x,y) = 0 implizit über dy/dx = −Fx/Fy ab (auch höhere Ordnungen).Uneigentliches-Integral-RechnerBerechne uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen oder Unstetigkeiten, mit Konvergenzurteil.Rechner für momentane ÄnderungsrateBerechne die momentane Änderungsrate f′(x₀) — die Ableitung einer Funktion an einem einzelnen Punkt und die Steigung der dortigen Tangente. Tippe eine Funktion von x und einen Punkt x₀; das Tool leitet symbolisch ab, wertet f′(x₀) aus und gibt die Tangentengleichung an.Rechner für die inverse Laplace-Transformationf(t) aus einer rationalen F(s) per Partialbruchzerlegung, mit mehrfachen Wurzeln und irreduziblen quadratischen Faktoren — 3/((s+2)²+9) ergibt eine gedämpfte Sinusschwingung — jedes Residuum aufgelistet und die Zerlegung numerisch gegen F(s) geprüft.Laplace-Transformations-RechnerF(s) aus f(t) mit der Standardtabelle plus erstem und zweitem Verschiebungssatz, Multiplikation mit einem Polynom in t und Produkt-zu-Summe — und einer ausdrücklichen, begründeten Verweigerung für alles, was die Tabelle nicht abdeckt.Kurvenintegral-RechnerBerechne skalare (∫ f ds) und vektorielle (∫ F·dr) Kurvenintegrale entlang einer parametrischen Kurve in 2D oder 3D.Maclaurin-Reihen-RechnerDie Taylorreihe um 0 für zwölf Standardfunktionen — sin, cos, eˣ, ln(1+x), √(1+x), arcsin, arctan und mehr — mit exakten Brüchen wie 1/120, allgemeinem Glied und dem Fehler an einer gewählten Stelle x.Newton-Verfahren-RechnerFinde eine Nullstelle von f(x) = 0 mit dem Newton-Verfahren: x_{n+1} = x_n − f(x_n) / f′(x_n). Gib eine Funktion, einen Startwert, eine Toleranz und eine maximale Iterationszahl ein; das Tool leitet f symbolisch ab und zeigt die vollständige Iterationstabelle, die zur Nullstelle konvergiert.Numerische-Integration-RechnerVergleiche Gauß-Legendre, Romberg und adaptives Simpson am selben Integral: jeder Wert, seine Funktionsauswertungen und sein geschätzter Fehler.Partielle-Ableitung-RechnerBerechne partielle und gemischte Ableitungen einer mehrvariablen Funktion symbolisch.Rechner für PartialbruchzerlegungZerlegt eine rationale Funktion in einfache Brüche und deckt verschiedene Linearfaktoren, mehrfache Faktoren und irreduzible Quadratische ab. Ansatz und das für die Koeffizienten gelöste lineare Gleichungssystem werden beide gezeigt, denn genau das wird gelernt.Konvergenzradius-RechnerGib aₙ als Formel in n oder als Koeffizientenliste ein und erhalte R per Quotienten- oder Wurzelkriterium — dazu das Randverhalten, das die meisten Rechner auslassen: Σ(−1)ⁿ/(n+1) konvergiert bei x = 1 und divergiert bei x = −1.Löser für verwandte ÄnderungsratenLöse klassische Aufgaben zu verwandten Änderungsraten aus einer Vorlage: expandierende Kugel, sich ausbreitende Welle, sich füllender Ballon, rutschende Leiter, sich füllender Kegel, Schatten einer Laterne, zwei sich entfernende Fahrzeuge und veränderliches Rechteck. Wähle ein Szenario, gib die bekannten Größen und Raten ein und lies die unbekannte Rate mit ihrer Bestimmungsgleichung ab.Riemann-Summen-RechnerNähere ein bestimmtes Integral durch Links-, Rechts-, Mittelpunkt-, Trapez- oder Simpson-Summen an — gezeichnet auf der Kurve mit Tabelle je Intervall.Runge-Kutta-Verfahren-Rechner (RK4)Zeigt die vier Stufensteigungen k₁ bis k₄ jedes Schritts und wie die 1-2-2-1-Gewichtung den Fehler bis h⁴ aufhebt. Halbiere die Schrittweite, und der Fehler sinkt etwa auf ein Sechzehntel — die gemessene Ordnung wird ausgegeben, du siehst sie gegen 4 laufen.Löser für Differentialgleichungen zweiter OrdnungLöst a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) mit zwei Anfangsbedingungen. Liefert die charakteristischen Wurzeln, benennt das Regime (ungedämpft, schwach gedämpft, aperiodischer Grenzfall, stark gedämpft), leitet eine partikuläre Lösung für konstante, polynomiale und exponentielle Anregung her und zeichnet das Ergebnis.Simpson-Regel-RechnerIntegriere mit der 1/3- und der 3/8-Regel — mit gezeigtem Gewichtsmuster, bei Bedarf angepasster Teilintervallzahl und Fehlerschranke.Ableitungsrechner (eine Variable)Leite f(x) symbolisch in beliebiger Ordnung ab, optional an einem Punkt ausgewertet.Oberflächenintegral-RechnerBerechne skalare (∬ f dS) und Fluss-Oberflächenintegrale (∬ F·dS) über eine parametrisierte Fläche.Taylorreihen-RechnerGib ein beliebiges f(x) ein — tan(x), sqrt(1+x), ln(1+x), exp(x)/cos(x) — wähle den Entwicklungspunkt und erhalte exakte rationale Koeffizienten bis Ordnung 20, die Ableitungen f⁽ⁿ⁾(a) und das erkannte allgemeine Glied.Dreifachintegral-RechnerBerechne numerisch ein Dreifachintegral ∭ f(x,y,z) über einen Quader.Wronski-RechnerDie Wronski-Determinante einer Menge von Funktionen — die aus ihnen und ihren aufeinanderfolgenden Ableitungen gebildete Determinante — ist der klassische Test auf lineare Unabhängigkeit in Differentialgleichungen. Gib deine Funktionen und einen Punkt ein; es leitet jede symbolisch ab, baut die Matrix und wertet die Determinante aus.Z-Transformations-Rechner (mit Konvergenzbereich)Beide Richtungen: eine Folge wie 0.5^n, n·0.8^n, cos(πn/4) oder eine endliche Werteliste nach X(z) mit Polen, Nullstellen und kausalem Konvergenzbereich, und eine rationale X(z) — q gilt als Kurzform für z⁻¹ — zurück zu kausalen Abtastwerten und einer geschlossenen Form.