Folgen & Reihen
Arithmetische und geometrische Folgen, Rekursionen und ihre Summen, mit explizitem allgemeinem Glied. 18 Werkzeuge, darunter Arithmetische-Folge-Rechner, Catalan-Zahlen-Generator, Collatz-Vermutung-Rechner und Kubikzahlen-Liste. Alle kostenlos, ohne Konto und ohne Installation.
Arithmetische-Folge-RechnerFinde das n-te Glied und die Summe einer arithmetischen Folge.Catalan-Zahlen-GeneratorErzeuge die n-te Catalan-Zahl exakt, mit Großzahl-Präzision. Die Catalan-Zahlen Cₙ = (2n)! / ((n+1)! n!) zählen erstaunlich viele Strukturen: balancierte Klammern, Binärbäume, Polygon-Triangulierungen, Dyck-Pfade und hunderte mehr. Listet auch C₀ bis Cₙ.Collatz-Vermutung-RechnerVerfolge die Collatz-Folge ab jeder positiven ganzen Zahl: halbieren wenn gerade, verdreifachen-plus-eins wenn ungerade, bis 1 erreicht ist. Die berühmte unbewiesene Vermutung besagt, dass jede Zahl irgendwann dort landet. Sieh die volle Bahn, die Schrittzahl und den Höchstwert.Kubikzahlen-ListeErzeuge eine Liste perfekter Kubikzahlen — n³ für aufeinanderfolgende ganze Zahlen ab beliebigem Start. Gib Anzahl und Startwert an, und es liefert die Kuben, ihre Summe und die Wurzeln, mit exakter Großzahl-Arithmetik.Fibonacci-RechnerFinde die n-te Zahl der Fibonacci-Folge.Fibonacci-Zahl-PrüferPrüfe jede Zahl mit bis zu 60 Stellen mit der exakten Identität 5n^2 +/- 4 — mit Index, Nachbarn in der Folge und dem Verhältnis im Vergleich zum goldenen Schnitt.Geometrische-Folge-RechnerFinde das n-te Glied und die Summe einer geometrischen Folge.Rechner für glückliche ZahlenFinde heraus, ob eine Zahl 'glücklich' ist. Ersetze sie wiederholt durch die Summe der Quadrate ihrer Ziffern: erreichst du 1, ist sie glücklich; landest du im Zyklus 4-16-37-58-89-145-42-20, ist sie unglücklich. Sieh Urteil und ganze Kette.Rechner für unendliche ReihensummenZehn klassische Familien — geometrisch, p-Reihe, Teleskop, alternierend harmonisch, Leibniz, Basel, Σ1/n! — mit geschlossener Form (π²/6, ln 2, π/4, e), Konvergenzbedingung und Partialsummen.Liste der Fibonacci-ZahlenErzeuge die ersten n Fibonacci-Zahlen exakt, mit Großzahl-Präzision — jedes Glied die Summe der beiden vorigen, ab 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8… Die Folge birgt den Goldenen Schnitt und erscheint überall in der Natur. Liefert die Liste und ihre Summe.Partitionsfunktion-RechnerBerechne p(n), die Anzahl der Möglichkeiten, eine ganze Zahl als Summe positiver Ganzzahlen ohne Reihenfolge zu schreiben — so ergibt 4 = 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1 p(4) = 5. Nutzt Eulers pentagonale Rekurrenz mit Großzahlen, exakt bis n = 500.Pascalsches-Dreieck-GeneratorErzeuge das Pascalsche Dreieck bis zu jeder Tiefe, mit exakten Großzahl-Einträgen. Jede Zahl ist die Summe der zwei darüber, und Zeile n enthält die Binomialkoeffizienten — die von (a+b)ⁿ. Das Dreieck birgt die Fibonacci-Zahlen, Zweierpotenzen und das Sierpinski-Muster.Perfekte-Zahl-PrüferPrüfe, ob eine Zahl vollkommen, abundant oder defizient ist — aus der Summe ihrer echten Teiler, mit dem Satz von Euklid-Euler erklärt.Potenzreihen-RechnerEntwickle eˣ, sin, cos, ln, √x, arctan und sechs weitere um jeden Punkt a — mit exakten Bruchkoeffizienten, allgemeinem Glied und Konvergenzintervall samt beiden Rändern.Rekurrenzrelation-LöserErzeuge die Folge jeder linearen Rekurrenz a(n) = c₁·a(n−1) + … + cₖ·a(n−k). Gib die Koeffizienten und passenden Anfangswerte ein, und es rollt die Folge Glied für Glied ab — Fibonacci, Lucas, Pell und jede eigene Ordnung-k-Relation, mit Dezimalzahlen und negativen Werten.Rechner für Konvergenzkriterien von ReihenWähle eine Reihe und sieh, welches Kriterium entscheidet — p-Reihe, Quotient, Wurzel, Leibniz, Cauchysche Verdichtung, Grenzwertvergleich — samt Grenzwert und ob die Konvergenz absolut oder bedingt ist.Quadratzahlen-ListeErzeuge eine Liste perfekter Quadratzahlen — n² für aufeinanderfolgende ganze Zahlen ab beliebigem Start. Wähle Anzahl und Beginn, und es liefert die Quadrate und ihre Summe mit exakter Großzahl-Arithmetik.Dreieckszahl-RechnerBerechne die n-te Dreieckszahl (1 + 2 + … + n).