Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal)

Transforma um conjunto de vetores numa base ortonormal com o processo de Gram-Schmidt: cada vetor é tornado ortogonal aos anteriores e depois normalizado para comprimento unitário. Introduz um vetor por linha numa grelha editável e devolve a base ortonormal, descartando os vetores linearmente dependentes. As bases ortonormais são o alicerce da fatorização QR, da análise de Fourier e das projeções.

A ferramenta interativa precisa de JavaScript para funcionar. Todo o resto desta página — como funciona, um exemplo resolvido e as respostas às perguntas habituais — está mais abaixo e não precisa de nada.

Ferramentas relacionadas

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Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô)Uma base do espaço das colunas de qualquer matriz até 6×6, tirada das colunas pivô ORIGINAIS e não das reduzidas, com a característica, as colunas livres, a RREF completa e cada operação sobre linhas.Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica)Resolve Ax = 0 para qualquer matriz até 8×8: uma base do núcleo em frações exatas e em inteiros, as variáveis livres, a solução paramétrica, a verificação do teorema da característica e A·v = 0 confirmado exatamente.Calculadora de matriz de adjacênciaTransforma qualquer grafo na sua matriz de adjacência. Cola uma lista de arestas (A-B), uma lista de adjacência (A: B C D) ou uma matriz binária — a ferramenta deteta o formato, constrói a matriz de adjacência rotulada e dá a sequência de graus, os graus de entrada/saída para grafos dirigidos, e o número de vértices e arestas.Calculadora do ângulo entre dois vetoresθ = arccos(a·b / (|a||b|)) em 2D ou 3D, em graus e radianos, com o produto escalar, as duas normas, as projeções e o veredito colineares / perpendiculares / agudo / obtuso.Calculadora de decomposição de CholeskyFatoriza uma matriz simétrica definida positiva A em L·Lᵀ, onde L é triangular inferior — a decomposição de Cholesky. Introduz A numa grelha quadrada editável e devolve L, Lᵀ e o produto L·Lᵀ; se a matriz não for simétrica ou não for definida positiva, indica que condição falhou. Duas vezes mais rápida que LU, Cholesky é usada em otimização, filtros de Kalman e simulação de Monte-Carlo.Calculadora da regra de CramerResolve um sistema 2×2 ou 3×3 com frações exatas, desenvolve cada determinante termo a termo e, quando D = 0, separa os dois casos que quase todas as calculadoras confundem: sistema dependente com infinitas soluções, ou impossível sem nenhuma.Calculadora de produto vetoriala × b em 3D com o desenvolvimento do determinante, a norma |a||b|sin θ, as áreas do paralelogramo e do triângulo, a normal unitária e a regra da mão direita.Calculadora de produto escalara·b de 2 a 10 dimensões com a soma termo a termo, as duas normas em radicais exatos, o ângulo em graus e radianos, as projeções e uma figura. O paralelismo e a ortogonalidade são decididos em frações exatas: (1,1,1)·(2,2,2) dá 0°, não NaN.

Abre Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal) e obténs uma resposta de imediato, sem criar conta. O seu lugar é em Matrizes e vetores; Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô) e Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica) respondem às perguntas mais próximas.

Como usar

Abre a ferramenta — sem registo nem instalação.
Introduz os teus dados ou ajusta as opções disponíveis.
Obtém o teu resultado ao instante e copia-o ou descarrega-o.

Perguntas frequentes

Para que serve Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal)?

Como é um caso concreto?

(1, 1), (1, 0) → (1, 1)/√2, (1, −1)/√2 — a ferramenta mostra cada passo intermédio, não apenas o valor final.

Em que casos se usa na prática?

Verificar uma decomposição feita à mão, resolver um sistema linear e encontrar os valores próprios que descrevem como uma transformação estica o espaço.

Qual é o erro mais comum?

Inverter uma matriz para resolver um sistema. A eliminação ou uma fatorização é mais rápida e muito mais estável numericamente; uma inversa explícita amplifica o erro de arredondamento, sobretudo perto da singularidade.

Em que difere Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal) de Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô)?

Estão próximos mas respondem a perguntas diferentes. Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô): uma base do espaço das colunas de qualquer matriz até 6×6, tirada das colunas pivô ORIGINAIS e não das reduzidas, com a característica, as colunas livres, a RREF completa e cada operação sobre linhas. Escolhe o que corresponde ao teu ponto de partida — ambos são gratuitos.

Existe uma ferramenta para o passo seguinte?

Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica) é o mais próximo a seguir a este: Resolve Ax = 0 para qualquer matriz até 8×8: uma base do núcleo em frações exatas e em inteiros, as variáveis livres, a solução paramétrica, a verificação do teorema da característica e A·v = 0 confirmado exatamente.

De onde vêm os dados?

As decomposições seguem as definições clássicas, com pivotagem parcial onde se aplica. Os resultados são exatos para matrizes inteiras pequenas e ficam sujeitos ao arredondamento em vírgula flutuante nos restantes casos.

Para saber mais

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ExplicaçãoAs diagonais de um polígono são uma malha completa menos o perímetroUm hexágono tem 9 diagonais, um icoságono 170 e um polígono de cem lados 4.850. A mesma contagem dá o número de ligações de uma malha completa: 190 ligações para 20 nós, 4.950 para 100.ExplicaçãoUm aquário de vinte galões tem dezasseis na Grã-Bretanha60 × 30 × 40 cm são 72 litros — 19,0 galões americanos ou 15,8 imperiais. Os dois galões diferem em 20 %, e encher 5 cm abaixo custa mais 9 litros.ExplicaçãoUma elipse tem uma área simples e nenhum perímetro simplesSemieixos de 5 e 3 dão um perímetro de 25,5270, e o valor exato difere numa parte em dois milhões. O palpite óbvio, π(a+b), fica 1,5 % abaixo — e 15 % abaixo numa elipse longa e fina.ExplicaçãoUma só fórmula cobre a esfera, o ovo e o planetaQuatro terços π vezes os três semieixos: 5, 3 e 4 dão 251,33, e pôr os três iguais devolve a esfera. O abaulamento equatorial custa à Terra 0,34 % do volume de uma esfera.ExplicaçãoSessenta metros de vedação encerram mais terreno quanto mais redondos os fizeresOs mesmos 60 m de vedação dão 173 m² em triângulo, 225 em quadrado, 260 em hexágono e 286 em círculo. A forma vale 65 % mais do que o material.ExplicaçãoO décimo exterior de um disco é a quinta parte da sua áreaUm anel do raio 9 ao 10 cobre 59,7 unidades quadradas de um disco de 314,2 — 19 %, com uma orla larga de um décimo do raio. Um tubo de 60 mm com parede de 3 mm obedece à mesma aritmética.