Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica)

Resolve Ax = 0 para qualquer matriz até 8×8: uma base do núcleo em frações exatas e em inteiros, as variáveis livres, a solução paramétrica, a verificação do teorema da característica e A·v = 0 confirmado exatamente.

A ferramenta interativa precisa de JavaScript para funcionar. Todo o resto desta página — como funciona, um exemplo resolvido e as respostas às perguntas habituais — está mais abaixo e não precisa de nada.

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Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô)Uma base do espaço das colunas de qualquer matriz até 6×6, tirada das colunas pivô ORIGINAIS e não das reduzidas, com a característica, as colunas livres, a RREF completa e cada operação sobre linhas.Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal)Transforma um conjunto de vetores numa base ortonormal com o processo de Gram-Schmidt: cada vetor é tornado ortogonal aos anteriores e depois normalizado para comprimento unitário. Introduz um vetor por linha numa grelha editável e devolve a base ortonormal, descartando os vetores linearmente dependentes. As bases ortonormais são o alicerce da fatorização QR, da análise de Fourier e das projeções.Traçador de curva paramétricaTraça uma curva definida por x(t) e y(t) enquanto o parâmetro t percorre um intervalo — a forma natural de desenhar círculos, figuras de Lissajous, espirais e rosáceas que nenhuma y=f(x) consegue. Escolhe um modelo ou escreve as tuas expressões; amostra o par, autoescala e desenha a curva no teu navegador.Calculadora do ângulo entre dois vetoresθ = arccos(a·b / (|a||b|)) em 2D ou 3D, em graus e radianos, com o produto escalar, as duas normas, as projeções e o veredito colineares / perpendiculares / agudo / obtuso.Calculadora da regra de CramerResolve um sistema 2×2 ou 3×3 com frações exatas, desenvolve cada determinante termo a termo e, quando D = 0, separa os dois casos que quase todas as calculadoras confundem: sistema dependente com infinitas soluções, ou impossível sem nenhuma.Calculadora de produto vetoriala × b em 3D com o desenvolvimento do determinante, a norma |a||b|sin θ, as áreas do paralelogramo e do triângulo, a normal unitária e a regra da mão direita.Calculadora de produto escalara·b de 2 a 10 dimensões com a soma termo a termo, as duas normas em radicais exatos, o ângulo em graus e radianos, as projeções e uma figura. O paralelismo e a ortogonalidade são decididos em frações exatas: (1,1,1)·(2,2,2) dá 0°, não NaN.Calculadora de valores e vetores próprios (2×2 e 3×3, com complexos)Polinómio característico, valores próprios exatos — racionais, com radical como (1±√5)/2 ou complexos como ±i para uma rotação — com vetores próprios, multiplicidades algébrica e geométrica e um veredicto claro sobre a diagonalizabilidade.

Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica) funciona diretamente nesta página — gratuito, instantâneo e sem instalar nada. Está arrumada em Matrizes e vetores no nosso catálogo, ao lado de Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô) e Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal).

Como usar

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Perguntas frequentes

Para que serve Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica)?

Em que casos se usa na prática?

Verificar uma decomposição feita à mão, resolver um sistema linear e encontrar os valores próprios que descrevem como uma transformação estica o espaço.

Qual é o erro mais comum?

Inverter uma matriz para resolver um sistema. A eliminação ou uma fatorização é mais rápida e muito mais estável numericamente; uma inversa explícita amplifica o erro de arredondamento, sobretudo perto da singularidade.

Em que difere Calculadora do núcleo (base de Nul(A), nulidade, solução paramétrica) de Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô)?

Estão próximos mas respondem a perguntas diferentes. Calculadora do espaço das colunas (base de Col(A), característica, colunas pivô): uma base do espaço das colunas de qualquer matriz até 6×6, tirada das colunas pivô ORIGINAIS e não das reduzidas, com a característica, as colunas livres, a RREF completa e cada operação sobre linhas. Escolhe o que corresponde ao teu ponto de partida — ambos são gratuitos.

Existe uma ferramenta para o passo seguinte?

Calculadora de Gram-Schmidt (base ortonormal) é o mais próximo a seguir a este: Transforma um conjunto de vetores numa base ortonormal com o processo de Gram-Schmidt: cada vetor é tornado ortogonal aos anteriores e depois normalizado para comprimento unitário. Introduz um vetor por linha numa grelha editável e devolve a base ortonormal, descartando os vetores linearmente dependentes. As bases ortonormais são o alicerce da fatorização QR, da análise de Fourier e das projeções.

Que mais vale a pena ter aberto ao lado?

Traçador de curva paramétrica e Calculadora do ângulo entre dois vetores — surgem na mesma tarefa com frequência suficiente para merecerem outro separador.

De onde vêm os dados?

As decomposições seguem as definições clássicas, com pivotagem parcial onde se aplica. Os resultados são exatos para matrizes inteiras pequenas e ficam sujeitos ao arredondamento em vírgula flutuante nos restantes casos.

Para saber mais

Todos os guias →

Explicação25 g de sal em 100 g de água dão uma solução a 20 %A percentagem mássica divide pela solução, não pelo solvente. Vinte e cinco gramas em cem dão 125 gramas de solução e 20 %, um quarto menos do que o número esperado.ExplicaçãoA molaridade é por litro de solução, não por litro de água0,5 mol em 2 litros dão 0,25 mol/L. Os dois litros têm de ser a solução acabada — juntar o soluto a dois litros de água dá outra coisa, e o rótulo ficará errado.ExplicaçãoAs diagonais de um polígono são uma malha completa menos o perímetroUm hexágono tem 9 diagonais, um icoságono 170 e um polígono de cem lados 4.850. A mesma contagem dá o número de ligações de uma malha completa: 190 ligações para 20 nós, 4.950 para 100.ExplicaçãoUm aquário de vinte galões tem dezasseis na Grã-Bretanha60 × 30 × 40 cm são 72 litros — 19,0 galões americanos ou 15,8 imperiais. Os dois galões diferem em 20 %, e encher 5 cm abaixo custa mais 9 litros.ExplicaçãoUma elipse tem uma área simples e nenhum perímetro simplesSemieixos de 5 e 3 dão um perímetro de 25,5270, e o valor exato difere numa parte em dois milhões. O palpite óbvio, π(a+b), fica 1,5 % abaixo — e 15 % abaixo numa elipse longa e fina.ExplicaçãoUma só fórmula cobre a esfera, o ovo e o planetaQuatro terços π vezes os três semieixos: 5, 3 e 4 dão 251,33, e pôr os três iguais devolve a esfera. O abaulamento equatorial custa à Terra 0,34 % do volume de uma esfera.